Wymiar jądra macierzy

[kasia00]

Mam podane dwie macierze:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 11&53&71\\-1&97&37\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ B = \begin{bmatrix} 2&-6&14\\-1&3&-7\end{bmatrix}}\)
mam określić wymiar jądra przekształcenia liniiowego \(\displaystyle{ L_{A},L_{b} :R^{3} \rightarrow R^{2}}\)
w macierzy B po pomnożeniu drugiego wiersza przez 2 i odjęciu dochodzimy do:
\(\displaystyle{ B = \begin{bmatrix} 2&-6&14\\0&0&0\end{bmatrix}}\)
to znaczy, ze: \(\displaystyle{ dim(Ker(b)) = 2}\) ?
Jak będzie to wyglądać w A?

[Ptaq666]

No właśnie nie do końca. Najszybciej jest policzyć rząd macierzy, a potem odjąć go od wymiaru przestrzeni V, na której operujesz (albo tak na chłopski rozum: od długości dłuższego boku macierzy, w tym wypadku 3). Rząd macierzy to z kolei (nie do końca, ale w tym przypadku możemy upraszczać) po prostu ilość jej liniowo niezależnych kolumn (albo wierszy, zależy który wymiar jest większy).

U Ciebie obie macierze A i B mają po 2 niezależne kolumny, więc wymiary ich jąder (NullSpace) są równe 1.

Innym sposobem może też byc poszukanie rozwiązania równania

\(\displaystyle{ a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0}\)

Gdzie v1,v2,v3 to kolumny macierzy. Ilość liniowo niezależnych rozwiązań tego równania to wymiar jądra (ilość wektorów zerowych, które składają się na jądro, stąd angielska nazwa Null-Space).

Przykład na macierzy B:

\(\displaystyle{ a \begin{bmatrix} 2\\-1\end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} -6\\3\end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 14\\-7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)

Mamy tu jedno liniowo niezależne rozwiązanie: a=3, b=1, c=0 Rozwiązanie to definiuje nam wektor bazowy jądra macierzy B:

\(\displaystyle{ v_0 = \begin{bmatrix} 3\\1\\0 \end{bmatrix} \\ B \cdot v_0 = 0}\)

Przykład macierzy o rzędzie = 1 i wymiarze jądra = 2:

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\2&4&6\end{bmatrix} \\
v_{01} = \begin{bmatrix} -3\\0\\1 \end{bmatrix} \\
v_{02} = \begin{bmatrix} -2\\1\\0 \end{bmatrix} \\
A \cdot v_{01} = 0 \\
A \cdot v_{02} = 0}\)

Zwróć uwagę, że v01 i v02 są liniowo niezależne.

[kasia00]

Wymiar macierzy B określiłam właśnie tym pierwszym sposobem, jednak myślałam że wiersze macierzy B są liniowo zależne, bo drugi wiersz jest po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ -2}\) identyczny jak pierwszy.

[Ptaq666]

Przepraszam, zamyśliłem jak pisałem ten post.

Oczywiście rank(B) = 1, rank(NullSpace(B)) = 2. Macierz B ma liniowo zależne wiersze, a co za tym idzie 3 zależne od siebie kolumny. Rozwiązaniem równania

\(\displaystyle{ Bv = 0}\)

są oczywiście dwa niezależne wektory (oraz ich dowolne kombinacje):

\(\displaystyle{ v_{01} = \begin{bmatrix} -7\\0\\1 \end{bmatrix} \\
v_{02} = \begin{bmatrix} 3\\1\\0 \end{bmatrix}}\)