Ile rozwiązań ma układ równań w cależności od pa - Kronecker

[kiper100]

Ile rozwiązań ma układ równań w zależności od parametru p? Jeżeli możesz podaj te rozwiązania.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x +py+z=1 \\ 2x+y+z=p \\ x +y+pz=p^2 \end{cases}}\)

---Rozwiązanie (zalążek)---

det A \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&p&1\\2&1&1\\1&1&p\end{bmatrix}=p+p+2-1-1-2p^2=-2p^2+2p = 2p(-p+1)}\)

\(\displaystyle{ p=1 \rightarrow det A=0}\)
\(\displaystyle{ p=0 \rightarrow det A=0}\)

Wydaje mi się że jeżeli \(\displaystyle{ det A \neq 0}\) to wiadomo że rząd A będzie równy rząd A i macierzy dołączonej.

\(\displaystyle{ x= \frac{\begin{vmatrix} 1&p&1\\p&1&1\\p^2&1&p\end{vmatrix}}{2p(-p+1)} = \frac{ -\left( p-1\right) ^2 }{2p(1-p)}}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{\begin{vmatrix} 1&1&1\\2&p&1\\1&p^2&p\end{vmatrix}}{2p(-p+1)} = \frac{ 2(p-1)(p- \frac{1}{2} ) }{2p(1-p)}}\)

\(\displaystyle{ z= \frac{\begin{vmatrix} 1&p&1\\2&1&p\\1&1&p^2\end{vmatrix}}{2p(-p+1)} = \frac{ -(p-1)(2p^2+1)}{2p(1-p)}}\)

No i to by były rozwiązania układu równań dla \(\displaystyle{ p \neq 1 \wedge p \neq 1}\). Chyba bo pewien nie jestem. Trzeba to teraz rozwiązać gdy p=1 lub p=0, ale czy jeszcze coś mogę zrobić w kierunku powyższych równań?

[kerajs]

OK. Dla \(\displaystyle{ p \in \R \setminus \left\{ 0,1\right\}}\) układ jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie które obliczyłeś) .

a) Dla \(\displaystyle{ p=0}\) układ ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x +z=1 \\ 2x+y+z=0 \\ x +y=0 \end{cases}}\)
Sprawdź rząd macierzy głównej i dołączonej. Powinien wyjść układ sprzeczny

b) Dla \(\displaystyle{ p=1}\) układ ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y +z=1 \\ 2x+y+z=1 \\ x +y+z=1 \end{cases}}\)
Tu też sprawdź rząd macierzy głównej i dołączonej. Powinien wyjść układ nieoznaczony.