macierz przekątniowo dominująca

[Yelon]

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą diagonalną \(\displaystyle{ A=(a _{1}, a _{2},..., a _{n})}\) oraz \(\displaystyle{ \hat{A}= A + E}\), gdzie \(\displaystyle{ e _{ii}=0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,n}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \lambda \in \sigma(\hat{A})}\), to istnieje takie \(\displaystyle{ k}\) (\(\displaystyle{ 1 \le k \le n}\)), że zachodzi oszacowanie:

\(\displaystyle{ \left| a _{k} - \lambda\right| \le \sum_{j=1}^{n}\left|e _{kj} \right|}\).

Jako, że to zadanie pojawiło się przy zadaniach z macierzami przekątniowo dominującymi, metodzie Gaussa-Seidla i tak dalej, pierwsze co mi się nasunęło, to kontrapozycja.

Czyli tak:

Pokażę, że jeśli \(\displaystyle{ \forall k \ : \ 1 \le k \le n}\) zachodzi nierówność ostra \(\displaystyle{ \left| a _{k} - \lambda\right| > \sum_{j=1}^{n}\left|e _{kj} \right|}\) to \(\displaystyle{ \lambda}\) nie jest wartością własną \(\displaystyle{ \hat{A}}\).

Teraz jeśli teza zachodzi, to macierz jest przekątniowo dominująca. Ale to będzie taka macierz, która na przekątnej ma odjętą \(\displaystyle{ \lambda}\), czyli to będzie macierz \(\displaystyle{ (\hat{A} - \lambda I)}\).

No i mam jakieś zaćmienie, bo nie potrafię pokazać, że dla takiej macierzy nie znajdziemy niezerowego wektora własnego to znaczy, że równanie: \(\displaystyle{ (\hat{A} - \lambda I) \vec{v} = 0}\), jest spełnione jedynie dla \(\displaystyle{ \vec{v}=0}\). Ma ten sposób jakikolwiek sens? Jeśli tak to prosiłbym o wskazówkę

[Kartezjusz]

Mamy założoną przekątnoiwą dominację czy ją pokazujemy?
Może pomoże, że \(\displaystyle{ \hat{A} - I \lambda = A+E -I \lambda =A-I \lambda + E}\) coś pomoże,

[Yelon]

Jeśli przeprowadzam dowód przez kontrapozycję to teza brzmi tak:
\(\displaystyle{ \forall k \ : \ 1 \le k \le n}\) zachodzi nierówność ostra \(\displaystyle{ \left| a _{k} - \lambda\right| > \sum_{j=1}^{n}\left|e _{kj} \right|}\)
a chcę pokazać:
\(\displaystyle{ \lambda}\) nie jest wartością własną \(\displaystyle{ \hat{A}}\).

No a ta nierówność, to jest warunek na silną przekątniową dominację \(\displaystyle{ \hat{A}}\).