Sprawdzanie, czy podana struktura jest przestrzenią liniową

[Transpluton]

Dlaczego \(\displaystyle{ \mathbb{(R,+, \cdot )}}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) z naturalnymi działaniami dodawania oraz mnożenia liczb nie jest przestrzenią wektorową?

Proszę o przykład bo wszystkie warunki istnienia przestrzeni wektorowej mi się zgadzają...

[NogaWeza]

Dla przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ X}\) działanie \(\displaystyle{ \cdot}\) powinno być zewnętrzne nad \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\), tymczasem jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{C}}\) to \(\displaystyle{ x \cdot \alpha \in \mathbb{C}}\). To znaczy, że wektor (z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)) razy współczynnik (z \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)) ma być wektorem.
W Twoim przypadku to nie zachodzi, bo nie jest prawdziwe, że iloczyn liczby rzeczywistej i zespolonej jest liczbą zespoloną.
To tylko moja próba uzasadnienia, proszę kogoś bardziej doświadczonego i kompetentnego o skomentowanie tego, gdyż mogę się mylić. Co prawda będzie mi wtedy smutno, ale lepsze to, niż życie w błędzie.

[Transpluton]

Dziękuję bardzo za pomoc! Rozpatrywałem różne warunki, a zapomniałem o sprawdzeniu działania zewnętrznego, czy \(\displaystyle{ \mathbb{C} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\). Mam tylko drobną uwagę:

bo nie jest prawdziwe, że iloczyn liczby rzeczywistej i zespolonej jest liczbą zespoloną.

Powinno być wg mnie „bo nie jest prawdziwe, że iloczyn liczby rzeczywistej i zespolonej jest liczbą rzeczywistą”. Weźmy np. \(\displaystyle{ x=2}\) oraz \(\displaystyle{ a=i}\) wtedy wynik przy mnożeniu jest równy \(\displaystyle{ 2i}\) co jest sprzeczne z tym działaniem co wyżej napisałem.

Myślę, że pana próba uzasadnienia jest w porządku, jednak mile widziane będą jakieś uzupełnienia lub potwierdzenia Dzięki raz jeszcze, bo algebra spędza mi sen z powiek

[NogaWeza]

Słuszna uwaga, pomyliłem się. Brawo za czujność, szczególnie o tej godzinie

[Kartezjusz]

Dokładnie. Nie jest nawet podprzestrzenią warunek z mnożeniem, który podał NogaWeza