Dlaczego \(\displaystyle{ \mathbb{(R,+, \cdot )}}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) z naturalnymi działaniami dodawania oraz mnożenia liczb nie jest przestrzenią wektorową?
Proszę o przykład bo wszystkie warunki istnienia przestrzeni wektorowej mi się zgadzają...
Sprawdzanie, czy podana struktura jest przestrzenią liniową
-
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 14:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zależna od przestrzeni metrycznej...
- Podziękował: 94 razy
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Sprawdzanie, czy podana struktura jest przestrzenią liniową
Dla przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ X}\) działanie \(\displaystyle{ \cdot}\) powinno być zewnętrzne nad \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\), tymczasem jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{C}}\) to \(\displaystyle{ x \cdot \alpha \in \mathbb{C}}\). To znaczy, że wektor (z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)) razy współczynnik (z \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)) ma być wektorem.
W Twoim przypadku to nie zachodzi, bo nie jest prawdziwe, że iloczyn liczby rzeczywistej i zespolonej jest liczbą zespoloną.
To tylko moja próba uzasadnienia, proszę kogoś bardziej doświadczonego i kompetentnego o skomentowanie tego, gdyż mogę się mylić. Co prawda będzie mi wtedy smutno, ale lepsze to, niż życie w błędzie.
W Twoim przypadku to nie zachodzi, bo nie jest prawdziwe, że iloczyn liczby rzeczywistej i zespolonej jest liczbą zespoloną.
To tylko moja próba uzasadnienia, proszę kogoś bardziej doświadczonego i kompetentnego o skomentowanie tego, gdyż mogę się mylić. Co prawda będzie mi wtedy smutno, ale lepsze to, niż życie w błędzie.
-
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 14:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zależna od przestrzeni metrycznej...
- Podziękował: 94 razy
Sprawdzanie, czy podana struktura jest przestrzenią liniową
Dziękuję bardzo za pomoc! Rozpatrywałem różne warunki, a zapomniałem o sprawdzeniu działania zewnętrznego, czy \(\displaystyle{ \mathbb{C} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\). Mam tylko drobną uwagę:
Myślę, że pana próba uzasadnienia jest w porządku, jednak mile widziane będą jakieś uzupełnienia lub potwierdzenia Dzięki raz jeszcze, bo algebra spędza mi sen z powiek
Powinno być wg mnie „bo nie jest prawdziwe, że iloczyn liczby rzeczywistej i zespolonej jest liczbą rzeczywistą”. Weźmy np. \(\displaystyle{ x=2}\) oraz \(\displaystyle{ a=i}\) wtedy wynik przy mnożeniu jest równy \(\displaystyle{ 2i}\) co jest sprzeczne z tym działaniem co wyżej napisałem.NogaWeza pisze:bo nie jest prawdziwe, że iloczyn liczby rzeczywistej i zespolonej jest liczbą zespoloną.
Myślę, że pana próba uzasadnienia jest w porządku, jednak mile widziane będą jakieś uzupełnienia lub potwierdzenia Dzięki raz jeszcze, bo algebra spędza mi sen z powiek
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Sprawdzanie, czy podana struktura jest przestrzenią liniową
Dokładnie. Nie jest nawet podprzestrzenią warunek z mnożeniem, który podał NogaWeza