Sprawdzanie podprzestrzeni wektorowych

[janusz2000]

Witam,
mam takie zadanie:
Sprawdź czy nastepujące zbiory sa podprzestrzeniami przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\)
a) \(\displaystyle{ A = \lbrace (x,y,z): x+y+z = a, a\in\RR \rbrace}\)
b) \(\displaystyle{ B = \lbrace (x,y,1): x,y\in\RR \rbrace}\)
c) \(\displaystyle{ C = \lbrace (x,y,z): 3x+2y-8z = 0 \rbrace}\)

Korzystam z def. na podprzestrzen:
\(\displaystyle{ \forall_{a,b \in A} \hspace{5}a+b \in A}\)
\(\displaystyle{ \forall_{a \in A} \forall_{ \alpha \in \RR} \hspace{5} \alpha \cdot a \in A}\)

W a)
\(\displaystyle{ ( x_{1} , y_{1}, z_{1} ) + ( x_{2} , y_{2}, z_{2} ) = ( x_{1}+x_{2} , y_{1}+y_{2}, z_{1}+z_{2}) = (x_{1}+x_{2}) + ( y_{1}+y_{2}) +(z_{1}+z_{2}) = a, a\in \RR}\)
Dowodzi 1 czesci zalozenia istnienia podptrzestrzeni

2 czesc:
\(\displaystyle{ \alpha \cdot (x,y,z) = (\alpha \cdot x,\alpha \cdot y,\alpha \cdot z) = \alpha \cdot x + \alpha \cdot y + \alpha \cdot z = a}\)
Rowniez \(\displaystyle{ a \in \RR}\), wiec spelnione zostaly 2 warunki, czyli zbior A jest podprzestrzenia.

Zbior B, nie bedzie podptrzestrzenia, bo:
\(\displaystyle{ ( x_{1} , y_{1}, 1 ) + ( x_{2} , y_{2}, 1 ) = ( x_{1}+x_{2} , y_{1}+y_{2}, 2)}\) 3 wspolrzedna jest rozna od 1, wiec \(\displaystyle{ \not\in B}\)

Zbior C:
\(\displaystyle{ ( x_{1} , y_{1}, z_{1} ) + ( x_{2} , y_{2}, z_{2} ) = ( x_{1}+x_{2} , y_{1}+y_{2}, z_{1}+z_{2}) = 3(x_{1}+x_{2}) + 2(y_{1}+y_{2}) -8(z_{1}+z_{2}) =0}\), czy to wystarczajace jako dowod?

Druga czesc:
\(\displaystyle{ \alpha \cdot (x,y,z) = (\alpha \cdot x,\alpha \cdot y,\alpha \cdot z) = 3\alpha \cdot x +2\alpha \cdot y -8\alpha \cdot z = 0 = \alpha (3x+2y-8z) = 0}\) tutaj widac, ze jest to spelnione dla kazdego \(\displaystyle{ \alpha}\)

Prosilbym o pomoc i wskazowki, nie wiem czy do konca rozumiem to pojecie i czy robione prawidlowe obliczenia.

Z gory dziekuje

[Poszukujaca]

Przykład a pierwszy warunek - źle.

Prponowałabym wyliczenie jednej zmiennej w zaleznosci od dwóch pozostałych czyli na przykład:
\(\displaystyle{ z =a-x-y}\) gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR}\)
Teraz spróbuj zrobić analogicznie jak w przykładzie b przy sprawdzaniu pierwszego warunku, który to masz zrobiony poprawnie.