Czy wektory liniowo niezależne mogą nie być generatorami?

[Piterixos]

Czy jest możliwe, żeby dany zestaw n wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni o wymiarze n nie generował tej przestrzeni

Sprawdzając warunek liniowej niezależności mnożę wektory przez dowolne skalary i przyrównuję do wektora zerowego, otrzymuję układ jednorodny z n niewiadomymi. Układ taki na pewno jest spełniony gdy wszystkie niewiadome (w tym przypadku skalary) się zerują. Wektory będą więc liniowo niezależne gdy pokażę, że układ jest oznaczony, czyli gdy wyznacznik główny jest różny od zera.

W tym momencie zaczynam się zastanawiać jaki sens ma sprawdzanie generowania. Przecież w tej sytuacji różnica jest taka, że zamiast zer mam jakieś \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}...}\), a niewiadomymi wciąż pozostają skalary w związku z czym wyznacznik główny pozostaje taki sam, jeżeli jest więc on różny od zera, to znaczy, że na pewno da się go rozwiązać w zależności od \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}...}\) , zatem ów zestaw wektorów na pewno generuje wszystkie wektory w danej przestrzeni.

No ale warunki ponoć są dwa, to znaczy, że chyba w tym rozumowaniu jest jakiś błąd, z tymże ja go nie widzę i stąd prośba o pomoc

[szw1710]

Nie jest możliwe. Układem generującym przestrzeń jest każdy układ \(\displaystyle{ n}\) wektorów liniowo niezależnych. Można zbudować odpowiednie odwzorowanie liniowe, które to pokaże.

[Piterixos]

Dziękuję za odpowiedź
prawdę mówiąc trochę mnie to zaskoczyło, zarówno na wykładach jak i na ćwiczeniach rozpatrywaliśmy liniową niezależność i generowanie jako dwa osobne warunki, tutaj zaś widzę, że sprawdzenie obu sprowadza się do tego samego. Cóż, może to dlatego, że jeszcze nie zajmowaliśmy się macierzami... Mniejsza o to, dziękuję za rozwianie wątpliwości

[szw1710]

Oczywiście że to co innego. Wektory liniowo zależne też mogą coś generować. Ale nadmiarowo w takim sensie, że niczego nie popsujesz, jak pousuwasz z układu generującego wektory liniowo zależne w tym sensie, że jak np. dwa są proporcjonalne, to jeden usuwasz. Kluczowe jest pojęcie maksymalnego układu liniowo niezależnego. Taki jest zawsze bazą. W \(\displaystyle{ \RR^n}\) nie znajdziesz większego niż \(\displaystyle{ n}\)-elementowy.