Przekształcenia liniowe, podprzestrzenie niezmiennicze

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
bmwfan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 lis 2015, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Przekształcenia liniowe, podprzestrzenie niezmiennicze

Post autor: bmwfan »

1. Wyznacz przekształcenie liniowe f:\(\displaystyle{ R_^{2}}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\)\(\displaystyle{ R_^{2}}\) i jego macierz wiedząc, że x=(3,5) i y=(1,0) są jego wektorami własnymi dla wartości własnych λ=2 i λ=3 odpowiednio
2. Wyznacz podprzestrzenie niezmiennicze przekształcenia liniowego danego macierzą E=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2&0&1\\0&4&0\\4&0&2\end{bmatrix}}\)
3.Wykaż, że jeżeli macierz A stopnia n ma n parami różnych wartości własnych to odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne
4.Wykaż, żę przekształcenie liniowe f:\(\displaystyle{ R_^{n}}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\)\(\displaystyle{ R_^{n}}\) jest różnowartościowe wtedy i tylko wtedy, gdy zero nie jest jego wartością własną

Proszę przynajmniej o jakieś wskazówki do zadań, metody rozwiązywania
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Przekształcenia liniowe, podprzestrzenie niezmiennicze

Post autor: Premislav »

1. Napisz sobie macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) jako macierz o niewiadomych współczynnikach:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\) - oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ A}\), zaś te wektory własne jako \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) odpowiednio, bo mi się nie chce klepać w LaTeXu. Z treści zadania masz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} Au=2u\\ Av=3v\end{cases}}\)
Rozwiązujesz go ze względu na współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c,d}\).
No i jak masz w garści macierz, to przekształcenie też.

-- 14 lis 2015, o 15:37 --

Był też sprytniejszy sposób, ale go nie pamiętam.
3. Załóż nie wprost, że są liniowo zależne, tj. istnieją takie współczynniki \(\displaystyle{ a_{1},...a_{n}}\) nie wszystkie równe zeru, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=\vec{0}}\) (\(\displaystyle{ v_{i}}\) to wektory własne). Nałóż na obie strony tej równości macierz przekształcenia, skorzystaj z liniowości i z tego, że \(\displaystyle{ v_{i}}\) są wektorami własnymi macierzy. Powinno się dać dojść do sprzeczności, kiedyś robiłem takie zadanie w tę stronę.
4. Implikacja w jedną stronę jest łatwa: gdy zero jest wartością własną, to można znaleźć wektor niezerowy przechodzący na wektor zerowy... Zatem to, że zero nie jest wartością własną, to warunek konieczny różnowartościowości.
W drugą: zakładamy, że zero nie jest wartością własną. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą przekształcenia. Jeśli \(\displaystyle{ Av=Au}\) dla pewnych \(\displaystyle{ u\neq v}\), to \(\displaystyle{ A(v-u)=\vec{ 0}=0 \cdot (v-u)}\) oraz \(\displaystyle{ v-u\neq \vec{0}}\)...
bmwfan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 lis 2015, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Przekształcenia liniowe, podprzestrzenie niezmiennicze

Post autor: bmwfan »

W tym 2 zadaniu obliczyłem wartości własne i wektory własne, ale nie wiem jak się wyznacza podprzestrzenie niezmiennicze, ktoś pomoże?
ODPOWIEDZ