Mam problem z następującym dowodem:
Niech punkty \(\displaystyle{ a_{1}, ..., a_{m} \in \mathbb{R}^{n}}\)
Udowodnij, że jeżeli między każdą parą punktów \(\displaystyle{ a_{i}}\) mamy jedną stałą odległość, to \(\displaystyle{ m \le n+1}\) (czyli, że liczba punktów równoodległych od siebie jest nie większa niż \(\displaystyle{ n+1}\)).
Zaczęłam od wielomianu \(\displaystyle{ F(x,y) = (\left||x-y\right||)^2 - (\delta)^2}\), gdzie \(\displaystyle{ \delta}\) to odległość między punktami x i y. Teraz podstawiając punkty \(\displaystyle{ a_{i}, a_{j}}\) dostaję:
\(\displaystyle{ F(a_{i}, a_{j}) = \begin{cases} -(\delta)^2, i=j \\ 0, i \neq j \end{cases}}\)
Rozważam wielomian \(\displaystyle{ f_{i} = F(x,a_{i})}\) (podstawiając \(\displaystyle{ a_{i}}\) za \(\displaystyle{ y}\)).
Wielomiany \(\displaystyle{ f_{1}, ..., f_{m}}\) są oczywiście liniowo niezależne.
I tu zaczyna się mój problem, ponieważ potrzebuję liczby generatorów wielomianu \(\displaystyle{ f_{i}}\). Rozpisuję to, ale nie wychodzi mi, że jest ich \(\displaystyle{ n+1}\).
Proszę o pomoc.-- 15 lis 2015, o 11:46 --Żadnych pomysłów? Może da się to udowodnić w inny sposób, ale nie wiem jak...
Pomóżcie, proszę.