Przekształcenia liniowe, podprzestrzenie niezmiennicze

[bmwfan]

1.Podaj przykład przekształcenia liniowego f: \(\displaystyle{ R_{2}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\)\(\displaystyle{ R_{2}}\), które nie posiada nietrywialnych podprzestrzeni niezmienniczych
2.Podaj przykład przekształcenia liniowego f: \(\displaystyle{ R_{4}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\)\(\displaystyle{ R_{4}}\), które posiada dokładnie dwie różne wartości własne
3.Czy istnieje przekształcenie liniowe f:\(\displaystyle{ R_{7}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\)\(\displaystyle{ R_{7}}\), którego jedynymi podprzestrzeniami niezmienniczymi są podpestrzenie trywialne

[Premislav]

1) \(\displaystyle{ f(x,y)=(x+y,x)}\)
2) przekształcenie dane macierzą
\(\displaystyle{ A= \left[ \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0 \\0&0&0&2\end{array} \right]}\)
wydaje się być OK.
3) pojęcia nie mam

[Kartezjusz]

Nie. Tak by się działało, gdyby istniała macierz o wielomianie charakterystycznym bez rzeczywistych pierwiastków, (z twierdzenia o rozkładzie przestrzeni na podprzsestrzenie własne). Mamy przestrzeń siemiowymiarową. Mamy conajmniej jeden pierwiastek z zasadniczego tw. Algebry