Jądro i obraz

[kasia00]

Proszę o pomoc.
Musze znaleźć bazy jądra i obraz dla:
\(\displaystyle{ f1: R^{3} \rightarrow R: f1= 4x - y + 6z}\)
\(\displaystyle{ f2: R^{3} \rightarrow R^{2}: f2 = (2x -y),(3x + z)}\)
nie mogę znależć odpowiednich przykładów do tego typu przekształceń

[leg14]

Czym jest jadro czym jest obraz?

[kasia00]

jądro \(\displaystyle{ f(x)=0}\)
a obraz \(\displaystyle{ f(M)=\{f(x)| x \in M\}}\)
dla jądra mamy:
w pierwszym przypadku mam \(\displaystyle{ 4x-y+6z = 0}\)
w drugim:
\(\displaystyle{ 2x-y=0}\)
\(\displaystyle{ 3x+z=0}\)

[leg14]

No ok, to teraz trzeba sprawdzic jaka przestrzen opisuja te uklady rownan.

[kasia00]

\(\displaystyle{ R^{3}}\) z pierwszego wyznacze : \(\displaystyle{ (0,0,0) + x(1,0,-\frac{4}{3}) + y(0,1, \frac{1}{3})}\) i następnie pryrównać do zera aby wyznaczyć jądro?

[leg14]

\(\displaystyle{ (0,0,0) + x(1,0,-\frac{4}{3}) + y(0,1, \frac{1}{3})}\)

Nie rozumiem co tu zrobilas.
Tak jak napisalas przyrownujesz do zera:
\(\displaystyle{ 4x -y +6z =}\)
wychodzi CI z tego, ze
\(\displaystyle{ y=4x +6z}\)
Zatem wektor spelniajacy to rownanie ma postac:
\(\displaystyle{ (x,4x+6z,z)=x(1,4,0) + z(0,6,1) = lin(1,4,0),(0,6,1)}\)
I mamy baze jadra pierwszej funkcji.
Co do obrazu, to jest takie twierdzenie(chociaz moze to przesadne wyolbrzymienie), ktore mowi, ze jesli
dziedzina jest rozpinana przez wektory \(\displaystyle{ v_1,...,v_n}\) to obraz jest rozpinany przez wektory
\(\displaystyle{ f(v_1),...,f(v_n)}\)

[kasia00]

w takim razie w drugim oba przyrównujemy do zera i mamy:
\(\displaystyle{ 2x - y = 0}\) i \(\displaystyle{ 3x+z=0}\)
\(\displaystyle{ (x,2x,-3x) = x(1,2,-3)}\) ?

[AiDi]

Przeczytaj proszę PW.

[kasia00]

Dla pierwszego podpunktu obrazem będzie po prostu R, a dla drugiego (-1,0) i (0,1)}?

-- 13 lis 2015, o 21:32 --

jeszcze jedno pytanie, co bedzie jeśli rozpatrzymy taki przypadek:
\(\displaystyle{ f:R ^{3} \rightarrow R^{2} : f=(x-y+3z, -2x+2y-6z)}\)
po wyznaczeniu y z pierwszego równanie mamy \(\displaystyle{ y = x +3z}\) i po podstawieniu do drugiego wychodzi 0=0... jaki to daje wniosek?

[leg14]

Tak,jednym slowem obie funkcje sa na

W jaki sposob wyznaczasz to y , bo nie rozumiem.CHodzi oszukanie jadra?

[kasia00]

\(\displaystyle{ x-y+3z=0}\) \(\displaystyle{ y=x+3z}\)
następnie drugie równanie \(\displaystyle{ -2x +2y - 6z=0}\)

po wstawieniu tam y mamy 0=0

[AiDi]

Oprócz przeczytania, to proszę się zastosować do tego co napisałem.

[kasia00]

czy to będzie po prostu : \(\displaystyle{ (x, (x+3z), z) = x(1,1,0) , z(0,3,1) = lin {(1,1,0), (0,3,1)}?}\)-- 13 lis 2015, o 21:57 --

Oprócz przeczytania, to proszę się zastosować do tego co napisałem.

Przepraszam, ale nie widze miejsca w którym nie stosuje LateX.

[AiDi]

Nie widzisz, ale jednak to miejsce poprawiłaś, ciekawe A nawiasy klamrowe uzyskujemy stosując komendę { }, bo sam nawias pełni szczególną rolę w LateXu.

[leg14]

Tak bedzie.