Suma prosta podprzestrzeni

[justdzo]

Zbadać czy dla danych podprzestrzeni

\(\displaystyle{ W_{1} = lin _{R}([1,1,3,-1],[1,4,0,2],[1,2,2,0])}\)

\(\displaystyle{ W_{2}=[{[x,y,z,t] \in R ^{4}:x+3y+6t=0,x-4y-7z-t=0}]}\)

zachodzi związek

\(\displaystyle{ R^{4}= W_{1}+W_{2}}\) (suma prosta)

Wie ktoś jak to ruszyc? z czego skorzystac?

[leg14]

Jaki jest warunek na sume prosta?Jakie sa wymiary wymienionych przez ciebie przestrzeni?

[justdzo]

Jaki jest warunek na sume prosta?Jakie sa wymiary wymienionych przez ciebie przestrzeni?

warunek na sume prostą tzn że kazdy wektor podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_{1}}\) mozna przedstawić jako kombinacje liniowa wektora z \(\displaystyle{ W_{2}}\)

Wymiar \(\displaystyle{ W_{1}}\) i \(\displaystyle{ W_{2}}\) to \(\displaystyle{ 4}\)?

[Kartezjusz]

Zobacz na ilu wektorach rozpięta jest \(\displaystyle{ W_{1}}\)?

[justdzo]

Zobacz na ilu wektorach rozpięta jest \(\displaystyle{ W_{1}}\)?

a! no tak, wymiar bedzie 3.

[leg14]

warunek na sume prostą tzn że kazdy wektor podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_{1}}\) mozna przedstawić jako kombinacje liniowa wektora z \(\displaystyle{ W_{2}}\)

Strasznie pomieszales w tej definicji
kazdy wektor z \(\displaystyle{ \RR^{4}}\) ma miec jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji liniowej wektorow z \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\)

[justdzo]

Zobacz na ilu wektorach rozpięta jest \(\displaystyle{ W_{1}}\)?

czyli, musze poprostu sprawdzić liniowa niezaleznosc?

[Kartezjusz]

Teraz nie zgadując liczysz wymiar drugiej łajzy tak-i badając niezależność

[justdzo]

Teraz nie zgadując liczysz wymiar drugiej łajzy tak-i badając niezależność

kurde pogubiłam sie ;(

Czyli mamy tak, że \(\displaystyle{ dim W _{1} = 3}\) i
\(\displaystyle{ dimW _{2} =2.}\)

I teraz co?
Mam sprawdzić liniowa niezależność wektorów z \(\displaystyle{ W _{1}}\) i \(\displaystyle{ W _{2}}\) ??

I jeżeli wyjdzie że są to związek zachodzi?

[leg14]

Nie ma szans zeby to byl iloczyn prosty, bo wymiary sie nei zgadzaja:
\(\displaystyle{ V = U +W \Rightarrow dim(V)=dim(W) + dim(U) - dim(U \cap W)}\)
Z tego wynika, ze \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\) maja nietrywialna czesc wspolna, a stad juz wynika, ze \(\displaystyle{ R^{4}}\) nie moze byc ich suma prosta.DLaczego?

[justdzo]

Nie ma szans zeby to byl iloczyn prosty, bo wymiary sie nei zgadzaja:
\(\displaystyle{ V = U +W \Rightarrow dim(V)=dim(W) + dim(U) - dim(U \cap W)}\)
Z tego wynika, ze \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\) maja nietrywialna czesc wspolna, a stad juz wynika, ze \(\displaystyle{ R^{4}}\) nie moze byc ich suma prosta.DLaczego?

Dlatego poniewać \(\displaystyle{ W _{1}}\) i \(\displaystyle{ W _{2}}\) bedą mieć wiecej niż jeden (wektor zerowy) wspólny element?

[leg14]

Tak, ale z czym to sie kloci w definicji sumy prostej?

[justdzo]

Tak, ale z czym to sie kloci w definicji sumy prostej?

hmm no wlasnie z tym że jeżeli te podprzestrzenie byłyby sumą prostą to powinny mieć jeden wspolny wektor, wektor zerowy nalezący do\(\displaystyle{ R ^{4}}\) ?

[leg14]

Tak, dlatego , ze jesli maja jakis inny wspolny to jego przedstawienie w tej sumie nie jest jednoznaczne, a tego wymaga definicja

[justdzo]

Tak, dlatego , ze jesli maja jakis inny wspolny to jego przedstawienie w tej sumie nie jest jednoznaczne, a tego wymaga definicja

Dziękuje Ci bardzo!

Chciałam jeszcze zapytać, czy jeżeli byłoby odwrotnie tzn wymiary w tym wzorze który podałeś by się zgadzały, to jest to równoznaczne z tym że związek zachodzi czy trzeba cos jeszcze sprawdzac?