Przy pomocy przekształcenia ortogonalnego sprowadzić równanie kwadryki
\(\displaystyle{ 2x^{2}+5y^{2}+2z^{2}+4xy+2xz+4yz+6x+4y-10=0}\)
do postaci kanonicznej(wypisać wzory wyrażające współrzędne).
Moje próby rozwiązania:
Najpierw obliczyłam że (mały wyróżnik) \(\displaystyle{ detA \neq 0}\) zatem podkładając
\(\displaystyle{ x=X+A
y=Y+B
z=Z+C}\)
pozbyłam się cześci liniowej i otrzymałam układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4A+4B+4C+6=0 \\ 10B+4A+4C+4=0\\4C+2A+4B=0 \end{cases}}\)
rozwiązałam i otrzymałam wynik
\(\displaystyle{ \begin{cases} A=-2 \\ B=0 \\C=1\end{cases}}\)
Zatem moja kwadryka ma teraz postac:
\(\displaystyle{ 2x^{2}+5y^{2}+2z^{2}+4xy+2xz+4yz - 16 = 0}\)
Liczę wartości własne macierzy A i otrzymuje
\(\displaystyle{ \alpha_{1} =1
\alpha_{2} =7
\alpha_{3} =1}\)
Teraz szukam wektorów własnych macierzy A.
Dla \(\displaystyle{ \alpha_{1} =1}\) i \(\displaystyle{ \alpha_{3} =1}\) bedzie on postaci:
\(\displaystyle{ [\vec{-2 \alpha + \beta , \alpha , \beta }]}\)
a dla \(\displaystyle{ \alpha_{2} =7}\)
\(\displaystyle{ [ \vec{\gamma,2\gamma,\gamma} ]}\)
i teraz chciałam zapytać czy dobrze rozumiem że mam rozwiązać takie o to równanie macierzowe:
\(\displaystyle{ U^{T}*A*U=B}\)
gdzie U to macierz utworzona z wektorow własnych macierzy A, a B jest macierzą mającą na przekątnej własności własne tej macierzy a reszta to zera.
Bardzo proszę o pomoc!
Pozwole sobie zawołać SlotaWoj bo ostatnio był tak miły że starał się mi pomóc