Czesc,
Mam do rozwiazania takie zadanko: Dane sa 3 okregi.
Znajac parametry dwoch okregow (wspolrzedne srodka, promien) i promien 3ciego wyznaczyc wszystkie wspolrzedne srodkow, takie ze okrag 3ci jest styczny do 2ch pierwszych.
\(\displaystyle{ (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2} \\
(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}\\
(x-x_{3})^{3}+(y-y_{3})^{2}=r_{3}^{2}\\
\\
D: S_{1}=(x_{1},y_{1}), r_{1}, S_{2}=(x_{2},y_{2}), r_{2}, r_{3},
\\
Sz: Zbior S_{3}}\)
Nie wiem za bardzo jak to rozwiazac, ma ktos pomysl? Troche juz sie zastanawialem i cos wymyslilem, ale nie sprawdza sie ;/
Zadanie 3 okręgi
-
Anathemed
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 34 razy
Zadanie 3 okręgi
Ja mam pomysł
1) Zauważmy, że poszukiwane środki trzeciego okręgu, to punkty przecięcia się dwóch okręgów: jednego o środku w punkcie \(\displaystyle{ S_{1}=(x_{1},y_{1})}\) i promieniu \(\displaystyle{ r_{1} + r_{3}}\), oraz drugiego o środku w punkcie \(\displaystyle{ S_{2}=(x_{2},y_{2})}\) i promieniu \(\displaystyle{ r_{2} + r_{3}}\). Po narysowaniu rysunku będzie mam nadzieję widać dlaczego:)
Zadanie sprowadziliśmy więc do obliczenia punktów przecięcia dwóch okręgów, które jest już dość znanym problemem
Za niedługo powinienem przedstawić gotowy wynik
1) Zauważmy, że poszukiwane środki trzeciego okręgu, to punkty przecięcia się dwóch okręgów: jednego o środku w punkcie \(\displaystyle{ S_{1}=(x_{1},y_{1})}\) i promieniu \(\displaystyle{ r_{1} + r_{3}}\), oraz drugiego o środku w punkcie \(\displaystyle{ S_{2}=(x_{2},y_{2})}\) i promieniu \(\displaystyle{ r_{2} + r_{3}}\). Po narysowaniu rysunku będzie mam nadzieję widać dlaczego:)
Zadanie sprowadziliśmy więc do obliczenia punktów przecięcia dwóch okręgów, które jest już dość znanym problemem
Za niedługo powinienem przedstawić gotowy wynik
Zadanie 3 okręgi
Wlasnie dokladnie tak samo zrobilem wyszlo mi z tego jednak koszmarne rownanie i 9 roznych przypadkow dla delty.
Dokladnie mowiac to cos takiego:
\(\displaystyle{ Dx_{3}^2+Ex_{3}+F=0}\) ,gdzie \(\displaystyle{ D=1+A^{2}}\), a inne wpolczynniki tez mozna rozwinac tak samo jak D i tak np. rozwijajac dalej A=-a/b, a z koleji \(\displaystyle{ a=x_{1}-x_{2}}\). Tak więc stopień moich oznaczeń wynosi 4 ;] Rownanie to ma 2 przypadki ze wzgledu na F, ktore moze przyjac 2 rozne wartosci w zaleznosci od \(\displaystyle{ r_{1}, r_{2}}\), tj \(\displaystyle{ +/-2r_{1}r_{2}}\). Mam nadzieję , że wyraziłem się jasno? :>
Hm trzeba to bedzie zaprogramowac i sobie narysowac w czyms
Czekam na twoje rozwiazanie ;]
Dokladnie mowiac to cos takiego:
\(\displaystyle{ Dx_{3}^2+Ex_{3}+F=0}\) ,gdzie \(\displaystyle{ D=1+A^{2}}\), a inne wpolczynniki tez mozna rozwinac tak samo jak D i tak np. rozwijajac dalej A=-a/b, a z koleji \(\displaystyle{ a=x_{1}-x_{2}}\). Tak więc stopień moich oznaczeń wynosi 4 ;] Rownanie to ma 2 przypadki ze wzgledu na F, ktore moze przyjac 2 rozne wartosci w zaleznosci od \(\displaystyle{ r_{1}, r_{2}}\), tj \(\displaystyle{ +/-2r_{1}r_{2}}\). Mam nadzieję , że wyraziłem się jasno? :>
Hm trzeba to bedzie zaprogramowac i sobie narysowac w czyms
Czekam na twoje rozwiazanie ;]
-
Anathemed
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 34 razy
Zadanie 3 okręgi
No z tym "niedługo" to grubo przesadziłem
Oto do czego doszedłem:
\(\displaystyle{ x_{prawie} = \frac{R_{1}^2 - R_{2}^2 + x_{0}^2}{2x_0}}\)
\(\displaystyle{ y_{prawie} = +/- \sqrt{R_{1}^2 - x_{prawie}^2}}\)
To są wzory na punkty przecięcia się dwóch okręgów z których pierwszy ma współrzędne \(\displaystyle{ (0,0)}\) a drugi \(\displaystyle{ (x_{0},0)}\)
Gdzie \(\displaystyle{ R_{1} = r_{1} + r_{3}}\), \(\displaystyle{ R_{2} = r_{2} + r_{3}}\)
Natomiast \(\displaystyle{ x_{0}}\) można obliczyć ze wzorów na translację i obrót.
Gdy już znajdziemy te wszystkie wielkości, to wystarczy ponownie skorzystać ze wzorów na obrót i translację, aby otrzymać rozwiązanie.
Wzór na translację jest prosty, natomiast wzór na obrót jest taki:
\(\displaystyle{ x' = xcos\phi - ysin\phi}\)
\(\displaystyle{ y' = xsin\phi + ysin\phi}\)
Natomiast \(\displaystyle{ sin\phi}\) i \(\displaystyle{ cos\phi}\) możemy obliczyć już prosto z tw. Pitagorasa
Czyli generalnie pozostaje popodstawiać wszystko do wzorów. Które chcąc nie chcąc wyjdą mega długie
Edit: znajdę jutro czas, to może napiszę jawne wzory na część rzeczy, które opisałem
Oto do czego doszedłem:
\(\displaystyle{ x_{prawie} = \frac{R_{1}^2 - R_{2}^2 + x_{0}^2}{2x_0}}\)
\(\displaystyle{ y_{prawie} = +/- \sqrt{R_{1}^2 - x_{prawie}^2}}\)
To są wzory na punkty przecięcia się dwóch okręgów z których pierwszy ma współrzędne \(\displaystyle{ (0,0)}\) a drugi \(\displaystyle{ (x_{0},0)}\)
Gdzie \(\displaystyle{ R_{1} = r_{1} + r_{3}}\), \(\displaystyle{ R_{2} = r_{2} + r_{3}}\)
Natomiast \(\displaystyle{ x_{0}}\) można obliczyć ze wzorów na translację i obrót.
Gdy już znajdziemy te wszystkie wielkości, to wystarczy ponownie skorzystać ze wzorów na obrót i translację, aby otrzymać rozwiązanie.
Wzór na translację jest prosty, natomiast wzór na obrót jest taki:
\(\displaystyle{ x' = xcos\phi - ysin\phi}\)
\(\displaystyle{ y' = xsin\phi + ysin\phi}\)
Natomiast \(\displaystyle{ sin\phi}\) i \(\displaystyle{ cos\phi}\) możemy obliczyć już prosto z tw. Pitagorasa
Czyli generalnie pozostaje popodstawiać wszystko do wzorów. Które chcąc nie chcąc wyjdą mega długie
Edit: znajdę jutro czas, to może napiszę jawne wzory na część rzeczy, które opisałem
Ostatnio zmieniony 14 lip 2007, o 00:55 przez Anathemed, łącznie zmieniany 1 raz.
Zadanie 3 okręgi
Spoko, nie pali sie mam to zrobic do poniedzialku, hm nie wiem jak interpretowac pierwiastki tego ostatniego rownania, tj wyszly mi dwa rozne x3, ale jakos nie pasuja do moich danych testowych jako pierwsza wspolrzedna srodka ktoregokolwiek z stycznych okregow do 2ch podanych jako dane.
Moze napisze moje dane testowe:
\(\displaystyle{ S_{1}(2,2) r_{1}=2\\
S_{2}(1,3) r_{2}=3\\
r_{3}=2}\)
Wyniki:
\(\displaystyle{ x_{3_{1}}=-7.51\\
x_{3_{2}}=11.51\\}\)
Widac na oko ze zle jest, chyba ze to jeszcze nie sa srodki okregow, jutro bede nad tym myslec mam czas do poniedzialku w sumie.
W sumie na podstawie tego w jakim wzajemnym polozeniu sa te 2 pierwsze okregi jest w miare przydatne, ale jutro przeanalizuje do konca to co napisales bo juz pozno ;]
Heh z taka matma nie mialem w sumie do czynienia od ponad 2ch lat ;/
Hm wymyslilem zupelnie inne podejscie do zadania ;]
[ Dodano: 15 Lipca 2007, 17:30 ]
Hm rozwiazalem juz to zadanie ;]
[ Dodano: 15 Lipca 2007, 22:21 ]
Ok, mam juz programik napisany, jak chcecie to moge podeslac linka ;]
Moze napisze moje dane testowe:
\(\displaystyle{ S_{1}(2,2) r_{1}=2\\
S_{2}(1,3) r_{2}=3\\
r_{3}=2}\)
Wyniki:
\(\displaystyle{ x_{3_{1}}=-7.51\\
x_{3_{2}}=11.51\\}\)
Widac na oko ze zle jest, chyba ze to jeszcze nie sa srodki okregow, jutro bede nad tym myslec mam czas do poniedzialku w sumie.
W sumie na podstawie tego w jakim wzajemnym polozeniu sa te 2 pierwsze okregi jest w miare przydatne, ale jutro przeanalizuje do konca to co napisales bo juz pozno ;]
Heh z taka matma nie mialem w sumie do czynienia od ponad 2ch lat ;/
Hm wymyslilem zupelnie inne podejscie do zadania ;]
[ Dodano: 15 Lipca 2007, 17:30 ]
Hm rozwiazalem juz to zadanie ;]
[ Dodano: 15 Lipca 2007, 22:21 ]
Ok, mam juz programik napisany, jak chcecie to moge podeslac linka ;]