Wyznaczenie wektora w równaniu macierzowym

[blacha_joker]

Czy jest ktoś w stanie pomóc mi z poniższym zadaniem?


Załóżmy, ze X jest macierzą rzędu pełnego. Dla każdego wektora \(\displaystyle{ l \in R^{p}}\) znajdź wektor \(\displaystyle{ a \in R^n}\) taki, że \(\displaystyle{ E(a^T*Y ) = l^T* \beta}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ \beta \in R^p}\). Czy istotne jest załózenie, ze X jest macierza rzedu pełnego? Jeśli tak, to dlaczego.

U nas macierz X jest macierzą obserwacji, a Y zmienną objaśnianą w modelu liniowym, więc wykorzystujemy takie równanie:
\(\displaystyle{ E(Y)=X \beta}\). Umiem przekształcić warunek w zadania do takiej postaci:

\(\displaystyle{ E(a^TY ) = l^T \beta \\
a^TE(Y)=l^T \beta \\
a^TX \beta = l^T \beta}\)
Skoro równość zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ \beta \in R^p}\), to równanie upraszcza się do:

\(\displaystyle{ a^TX= l^T \\
X^Ta=l}\)

Jak z tego równania wyznaczyć a? Wiem, że X nie jest odwracalna, ale mam informacje o tym, że \(\displaystyle{ X^TX}\) jest odwracalna. Jest ktoś w stanie pomóc, bądź naprowadzić na rozwiązanie?-- 12 lis 2015, o 07:15 --Pomoże ktoś?

[leg14]

Skąd wniosek, ze \(\displaystyle{ X^TX}\)jest odwracalna