baza ortognalna

[ortogon]

Witam czy mógłby ktoś pomóc mi w rozwiązaniu zadania:

Znajdź bazę ortogonalną przestrzeni W ze standardowym iloczynem skalarnym, jeżeli

\(\displaystyle{ W=\left\{x \in R^4: x_1-2x_2+x_3=0 \right\} } \end{cases} \right\} \right\}}\)

Z góry dzięki za pomoc!

[Yelon]

\(\displaystyle{ W=\left\{ \left( 2x _{2} - x _{3}, x _{2}, x _{3}, x _{4}\right) \in \mathbb{R} ^{4} \right\}}\)

Teraz poszukaj trzech wektorów liniowo niezależnych (wykombinuj sobie jakieś)

Ukryta treść:    

Na przykład takie \(\displaystyle{ \left( 0,0,0,1\right)}\), \(\displaystyle{ \left( -1,0,1,0\right)}\), \(\displaystyle{ \left( 2, 1,0,0 \right)}\)

Jak już je masz to: ... a-Schmidta według schematu

[ortogon]

Właśnie nie wiedziałam, jak dobrać te wektory.
Może głupie pytanie, ale jest jakiś sposób na ich dobranie, czy chodzi tylko o to aby były liniowo niezależne?

Dzięki wielkie;)

[Yelon]

Baza to maksymalny układ liniowo niezależny, jeśli w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{n}}\) znajdziesz \(\displaystyle{ n}\) liniowo niezależnych wektorów (więcej się oczywiście nie da), to masz bazę. Natomiast ortogonalizacja, czy ortonormalizacja to już dalsze algorytmy.

Im wyższy wymiar, tym teoretycznie trudniej je znaleźć bo więcej literek, natomiast przy \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{4}}\) nie jest to jeszcze takie uciążliwe.

[ortogon]

Dzięki za poświęcony czas;)