liniowa niezależność

[tanbeau]

1) Ciało R jest przestrzenią liniową nad Q w naturalny sposób. Wykazać, że elementy
\(\displaystyle{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}}\) tej przestrzeni są liniowo niezależne nad Q.

\(\displaystyle{ a \cdot 1 + b \cdot\sqrt{2} + c \cdot \sqrt{3} = 0}\)
czyli \(\displaystyle{ a=0 , b \cdot\sqrt{2} = 0 = b, c \cdot \sqrt{3} = 0 =c}\)

\(\displaystyle{ a=b=c=0}\), a więc wektory są liniowo niezależne

2) W przestrzeni liniowej wszystkich funkcji \(\displaystyle{ \left\{ f : R \rightarrow R\right\}}\) wykazać liniową niezależność
wektorów \(\displaystyle{ id, sin x, cos x}\).
co to jest \(\displaystyle{ id}\)? funkcja identycznościowa? i jak to działa? co należy z takim zadaniem zrobić? schematycznie, tak jak powyżej?

[szw1710]

2. Tak, to jest funkcja identycznościowa.

Niech \(\displaystyle{ a+b\cos x+c\sin x=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ a+b=0}\). Dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\) mamy \(\displaystyle{ a+c=0}\). Dla \(\displaystyle{ x=\pi}\) mamy \(\displaystyle{ a-b=0}\). Stąd \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).

[tanbeau]

dziękuję.

PS. ciekawy blog, a i podręcznik do statystyki przyda się prędzej czy później. pozdrawiam