Równania z macierzami

[cis123]

\(\displaystyle{ Dla \ a,b \in R, \ niech: \\ \\
A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&-1&1\\-1&-1&a\end{array}\right] \
oraz \ \vec{b}= \left[\begin{array}{c}-1\\b\\1\end{array}\right]}\)

Używając operacji elementarnych na wierszach znajdź zbiory rozwiązań równania \(\displaystyle{ A \vec{x} = \vec{b}.}\) Ostrożnie rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Po kilku operacjach elementarnych wychodzi mi układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x_{2}+(a-1)x_{3}=0 \\ x_{1}-x_{3}=-1 \\ x_{1}-x_{2}=b-1 \end{cases}}\)
I co dalej? Co od czego mam uzależnić? Jakie przypadki rozpatrzyć?

[SlotaWoj]

Nie chciało mi się analizować tego coś zrobił, ale po moich trzech operacjach elementarnych (zamiana wierszy i dwa odejmowania) otrzymałem:

• \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
  -1&-1&a&1 \\
  0&-1&1&b \\
  0&0&a-2&-b
  \end{array}\right]}\)

Teraz Twoja kolej.

[cis123]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=x_{3}-1 \\ x_{2}=(a-1)x_{3} \\ (2-a)x_{3}=b \end{cases}}\)

I teraz rozpatruję przypadki:

\(\displaystyle{ I. \ gdy \ b=0: \\
1) \ gdy \ a=1: \\
\begin{cases} x_{3}=0 \\ x_{2}=0 \\ x_{1}=-1 \end{cases} \\
2) \ gdy \ a=2: \\
x_{3}=x_{2}=x_{1}+1 \\
3) \ gdy \ a \neq \{1,2\}: \\
\begin{cases} x_{3}= 0 \\ x_{2}= 0 \\ x_{1}= -1 \end{cases} \\
II. \ gdy \ b \neq 0: \\
1) \ gdy \ a=1: \\
\begin{cases} x_{2}=0 \\ x_{3}=b \\ x_{1}=b-1 \end{cases} \\
2) \ gdy \ a=2: \\
b=0 \ -sprzeczne \\
3) \ gdy \ a \neq \{1,2\}: \\
\begin{cases} x_{3}= \frac{b}{2-a} \\ x_{2}= \frac{ab-b}{2-a} \\ x_{1}= \frac{a+b-2}{2-a} \end{cases}}\)

I w każdym przypadku rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \vec{x}=[x _{1},x _{2},x _{3}] ^{T}}\). Dobrze?

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=x_{3}-1 \\ x_{2}=(a-1)x_{3} \\ (2-a)x_{3}=b \end{cases}}\)

A dwa pierwsze z ww. równań, to skąd się wzięły?

Kluczowe dla dalszych rozważań jest trzecie równanie. Jeśli \(\displaystyle{ a=2}\) i \(\displaystyle{ b\neq0}\), to układ jest sprzeczny. Gdy \(\displaystyle{ a=2}\) i \(\displaystyle{ b=0}\), to układ może być nieoznaczony i w tym celu należy przebadać pozostałe równania.

Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ x_3=x_2}\), a z pierwszego (wykorzystując drugie), że \(\displaystyle{ -x_1+x_2=1}\). Brak sprzeczności: dla \(\displaystyle{ a=2}\) i \(\displaystyle{ b=0}\) układ jest nieoznaczony i rozwiązaniem będą wszystkie punkty prostej wzdłuż której przecinają się płaszczyzny: \(\displaystyle{ -x_1+x_2-1=0}\) i \(\displaystyle{ -x_2+x_3=0}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ a\neq2}\) układ jest oznaczony i jego rozwiązaniem jest wektor:

• \(\displaystyle{ \left[\frac{a+b-2}{2-a};\ \frac{ab-b}{2-a};\ \frac{b}{2-a}\right]}\)

Uwaga:
Wydaje mi się, że badanie dwóch pierwszych wierszy dla \(\displaystyle{ a=2}\) i \(\displaystyle{ b=0}\) zrobiłem nieco na wyrost, bo „gołym okiem” widać, że w części głównej macierzy są one liniowo niezależne.

[cis123]

Czyli nie musze rozpatrywać przypadku gdy a=1?

[SlotaWoj]

A dlaczego to \(\displaystyle{ a=1}\) miałoby być jakieś „ groźne”, że trzeba by je rozpatrywać>