Macierze kwadratowe odwrotne same do siebie

[bmwfan]

Wyznacz (opisać) wszystkie macierze kwadratowe stopnia 2, które są odwrotne same do
siebie

[jutrvy]

Hint: każda macież odwrotna sama do siebie ma wyznacznik równy jeden...

[matmatmm]

Lub \(\displaystyle{ -1}\)

[jutrvy]

Tak, generalnie powinno być \(\displaystyle{ |\det A| = 1}\), przepraszam da drobną pomyłkę.

[kerajs]

Muszę przyznać, że te wskazówki mi nie pomagają. Jak je wykorzystać?

Ja robiłbym tak:

Ukryta treść:    

Dla :
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
Wyznaczam (o ile \(\displaystyle{ ad-bc \neq 0}\)):
\(\displaystyle{ A ^{-1} =\left[\begin{array}{cc} \frac{d}{ad-bc} & \frac{-b}{ad-bc} \\ \frac{-c}{ad-bc }& \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right]}\)
i układam układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a= \frac{d}{ad-bc} \\ b= \frac{-b}{ad-bc} \\ c= \frac{-c}{ad-bc}\\ d= \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right.}\)
co daje rozwiązania (o ile gdzieś się nie pomyliłem):
1.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}0&b\\ \frac{1}{b} & 0\end{array}\right]}\) dla \(\displaystyle{ b \in \RR \setminus \left\{ 0 \right\}}\)
2.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}a&b\\ \frac{1-a^2}{b} & -a\end{array}\right]}\) dla \(\displaystyle{ a \in \RR \setminus \left\{ -1,0,1 \right\} \wedge b \in \RR \setminus \left\{ 0 \right\}}\)
3.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] \vee A=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right] \vee A=\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right] \vee A=\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array}\right]}\)

[jutrvy]

O jejku, to strasznie dużo liczenia...

Na dodatek obawiam się, że pomyliłeś się w rachowaniu...

Można zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ A = A^{-1}}\), to wtedy \(\displaystyle{ A^2 = I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) to macierz identycznościowa. W takim razie \(\displaystyle{ 1 = \det I = \det AA^{-1} = \det A\cdot \det A^{-1} = \det A\cdot \det A = (\det A)^2}\), zatem \(\displaystyle{ |\det A| = 1}\). Jak wygląda odwrotna macierz do macierzy \(\displaystyle{ 2\times 2}\)?... Bardzo prosto, jeśli mamy macierz

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\), to wówczas

\(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{1}{\det A}\cdot \left[\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]}\).

Ponieważ nasz wyznacznik ma moduł jeden, to musi zachodzić równość:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \pm \left[\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]}\).

Każda macierz, która spełnia tę równość, i tylko taka jest macierzą \(\displaystyle{ 2\times 2}\), która jest odwrotna sama do siebie.

Pozdrawiam

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \pm \left[\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]}\).

co, ponieważ nie jest spełnione dla dowolnego a,b,c,d ,wymaga dalszego badania i daje dwa przypadki:
A)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right] \ \wedge \ ad-bc=1}\)
B)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-d&b\\c&-a\end{array}\right] \ \wedge \ ad-bc=-1}\)

Ich rozwiązania to te które podałem w poprzednim poście i poniższe, o których wtedy zapomniałem:

Ukryta treść:    

4.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}-1&0\\c&1\end{array}\right] \vee A=\left[\begin{array}{cc}1&0\\c&-1\end{array}\right]}\) dla \(\displaystyle{ c \in \RR \setminus \left\{ 0 \right\}}\)
5.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}-1&b\\0&1\end{array}\right] \vee A=\left[\begin{array}{cc}1&b\\0&-1\end{array}\right]}\) dla \(\displaystyle{ b \in \RR \setminus \left\{ 0 \right\}}\)

Liczyłem, że wskazówka pozwala na szybkie odnalezienie szukanych macierzy, a rozwiązanie będzie bazowało na innej metodyce .