Dowód własności macierzy odwrotnych

[bmwfan]

Udowodnij, że dla macierzy nieosobliwych tego samego stopnia A i B zachodzą równości:
a)(\(\displaystyle{ A ^{-1}}\))\(\displaystyle{ ^{-1}}\)=A
b) (\(\displaystyle{ \alpha}\)A)\(\displaystyle{ ^{-1}}\)= \(\displaystyle{ \frac{1}{ \alpha }}\) \(\displaystyle{ \cdot}\)\(\displaystyle{ A^{-1}}\)

[jutrvy]

W (a) wystarczy, że pokażesz, że \(\displaystyle{ A^{-1}\cdot(A^{-1})^{-1} = I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\), to macierz identycznościowa. Jak to pokażesz, to już tylko musisz pomnożyć to, co pokazałeś lewostronnie przez \(\displaystyle{ A}\) i dostaniesz tezę.

W (b) wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ B\cdot(\alpha\cdot A) = \alpha\cdot(BA)}\), zatem jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest odwracalna, to zauważmy, że ponieważ wyznacznik jest wieloliniowy, to \(\displaystyle{ \alpha A}\) też jest odwracalna. \(\displaystyle{ (\alpha A)\cdot(\frac{1}{\alpha}A^{-1}) = \alpha\cdot\frac{1}{\alpha}(AA^{-1}) = I}\), a stąd już wynika teza.