Niech \(\displaystyle{ X \subset \mathbb{R}^{\infty}}\) będzie zbiorem wszystkich ciągów \(\displaystyle{ \left( a_n\right)_{n=1}^{\infty}}\) takich, że dla pewnej stałej \(\displaystyle{ C< \infty}\) i każdego \(\displaystyle{ n=1, 2, ...}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left| x_n\right|<\frac{C}{n}}\)
Pokaż, że \(\displaystyle{ X}\) jest podprzestrzenią liniową w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{\infty}}\) i \(\displaystyle{ dim X = \infty}\)
To, że jest podprzestrzenią próbowałem tak \(\displaystyle{ |x_l|<\frac{C}{l}}\) \(\displaystyle{ |x_k|<\frac{C}{k}}\)
Stąd \(\displaystyle{ |x_m|=|x_l+x_k| \le |x_l|+|x_k| = \frac{C}{l} + \frac{C}{k}}\) (tylko czy to jest wystarczające?)
\(\displaystyle{ \alpha|x_n|<\alpha\frac{C}{n}=\frac{\alpha C}{n}}\) a stąd \(\displaystyle{ \alpha C = C_0 < \infty}\)
Czy to rozumowanie jest dobre? Z wymiarem nie wiem jak się zabrać.
Niedobre. To \(\displaystyle{ C}\) może być różne w zależności od ciągu, a Ty nawet nie rozważasz dwóch ciągów. NIech \(\displaystyle{ (x_n),(y_n)\in X}\). Mamy \(\displaystyle{ |x_n|<\frac{C}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ |y_n|<\frac{D}{n}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in \NN}\). Dalej sobie poradzisz. Potem sprawdź, co dzieje się z ciągiem \(\displaystyle{ (\alpha x_n)}\) dla \(\displaystyle{ \alpha\in\RR}\).
Jaką własność mają ciągi \(\displaystyle{ \left(0,\dots,0,\frac{1}{n},0,0,\dots\right),}\) gdzie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) występuje na \(\displaystyle{ n}\)-tym miejscu?
Elementami \(\displaystyle{ X}\) są ciągi. Zbudowałem ciąg takich ciągów. Jego wyrazem ogólnym jest ciąg jaki napisałem. Na \(\displaystyle{ n}\)-tej współrzędnej ma \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), na pozostałych zera.
