przestrzeń liniowa

[madlene]

Proszę o pomoc z zadaniem.
Udowodnić, że jeśli V jest przestrzenią liniową nad K, to:
\(\displaystyle{ \forall _{ \alpha \in K }\forall _{ v \in V} (- \alpha )v=-( \alpha )v= \alpha (-v)}\)

[miodzio1988]

No to jaki jest problem? Zapisz sobie jak te wektory wyglądają, później są to proste operacje

[matmatmm]

Powinno być chyba \(\displaystyle{ (-\alpha)v=-(\alpha v)=\alpha(-v)}\).

Co do pierwszej równości

\(\displaystyle{ \alpha v+(-\alpha)v=(\alpha+(-\alpha))v=0\cdot v=0}\)

I równość wynika z jednoznaczności elementu przeciwnego.

[Dualny91]

Powinno być chyba \(\displaystyle{ (-\alpha)v=-(\alpha v)=\alpha(-v)}\).

Co do pierwszej równości

\(\displaystyle{ \alpha v+(-\alpha)v=(\alpha+(-\alpha))v=0\cdot v=0}\)

I równość wynika z jednoznaczności elementu przeciwnego.

Chyba nie ma potrzeby. W definicji przestrzeni liniowej zakłada się 'łączność' mnożenia przez skalar, więc \(\displaystyle{ (-\alpha)v=(-1 \cdot \alpha)v=-1(\alpha v)=-(\alpha v)}\).

[matmatmm]

Ale skąd wiesz, że \(\displaystyle{ (-1)\cdot v= -v}\) ? W definicji przestrzeni liniowej jest tylko warunek, że \(\displaystyle{ 1\cdot v=v}\).

[Dualny91]

Racja, zwracam honor

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ 0=v+(-v)=}\) z drugiej strony
\(\displaystyle{ 0=(1+(-1))v=1 \cdot v+(-1) \cdot v=v+(-1) \cdot v}\)z jednoznaczności el odwrotnego mamy "skąd wiesz"

[Dualny91]

Tak, ale to jest powtórzenie rachunku matmatmm, więc wiele nie wnosi. Dlatego przyznałem rację.

[Adam27]

Dobry wieczór,
Czy ktoś może polecić materiały w Internecie, aby poczytać o bazie i podprzestrzeniach ?