Jak wygląda problem, opis słowny:
Mam macierz teoretycznie wielowymiarową, której każdy wyraz jest iloczynem odpowiadających wyrazów z macierzy wcześniejszej. Problem polega na zapisie uogólnionym. Sam trochę nie bardzo wiem jak to słowami opisać a więc na przykładzie:
Dla macierzy o wymiarach 2 na 3 wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} a _{11}\ a_{12}\ a_{13} \\ a _{21} \ a_{22}\ a_{23} \end{array} \right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}
a _{11} \cdot a _{21} \ a _{11} \cdot a_{22} \ a _{11} \cdot a_{23}\\
a _{21} \cdot a _{21} \ a _{21} \cdot a_{22} \ a _{21} \cdot a_{23}\\
a _{31} \cdot a _{21} \ a _{31} \cdot a_{22} \ a _{31} \cdot a_{23}\\
\end{array} \right]}\)
tu sprawa jest bardzo prosta bo równie dobrze można by zrobić
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} a _{11}\ a_{12}\ a_{13} \end{array}] ^{T} \cdot [\begin{array}{ccc} a _{21} \ a_{22}\ a_{23} \end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc}
a _{11} \cdot a _{21} \ a _{11} \cdot a_{22} \ a _{11} \cdot a_{23}\\
a _{21} \cdot a _{21} \ a _{21} \cdot a_{22} \ a _{21} \cdot a_{23}\\
a _{31} \cdot a _{21} \ a _{31} \cdot a_{22} \ a _{31} \cdot a_{23}\\
\end{array} \right]}\)
problem się pojawia gdy mam wymiar większy, przykładowo 3x3
czyli moja macierz z której pobieram 'dane' ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}
a _{11} \ a _{11} \ a _{11} \\
a _{21} \ a _{21} \ a _{21} \\
a _{31} \ a _{31} \ a _{31} \\
\end{array} \right]}\)
a wyrazy będą postaci: \(\displaystyle{ a _{11} \cdot a _{21} \cdot a _{31}}\)
gdzie tak naprawdę
\(\displaystyle{ a _{n1m1} \cdot a _{n2m2} \cdot a _{n3m3}}\)
Jak więc zapisać taką macierz dla dowolnej liczby zmiennych / wymiarów macierzy początkowej, myślałem o czymś takim:
Macierz początkowa:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}
a _{11} \cdot \ a _{1m} \\
\cdot \cdot \cdot \\
a _{n1} \cdot \ a_{nm} \\
\end{array} \right]}\)
wzór na wyrazy macierzy wyjściowej:
\(\displaystyle{ \left[ \prod_{n1, n2 ... nk} a _{n1, n2 ... nk} \right]}\)
myślałem też o czymś tego typu:
\(\displaystyle{ \wedge _{k1} \wedge _{k2} ... \wedge _{kn} \left[ M\right] _{k1, k2, ... , kn} = a _{k1, k2, ... , kn}}\)
* te daszki (wedge) rozumiem jako kwantyfikator dla każdego, niestety nie potrafię zapisać zmiennej 'pod' znakiem kwantyfikatora, o ile sie to da w LaTeX'ie zrobić
Nie oczekuje gotowca, ale będę wdzięczny za jakąś podpowiedź, myślałem o układach kombinacyjnych, ale te dotyczą zmiennych boolowskich.
Problemy pośrednie:
1. jak zapisać indeksacje wszystkich kombinacji ?
2. jak zapisać wzór na macierz której wyrazy są iloczynami odpowiednich wyrazów poprzedniej macierzy ?