Proszę o pomoc w zrozumieniu pojęcia "odwracalne przekształcenie liniowe". Czy można powiedzieć, że w celu otrzymania przekształcenia odwrotnego należy odbić je względem prostej \(\displaystyle{ \f(x)=x}\)?
Zdaję sobie sprawę, że nie wszystkie przekształcenia są odwracalne, np. rzut prostokątny nie ma przekształcenia odwrotnego. Proszę o wskazówki, czy istnieją wzory na odwracalność poniższych przekształceń:
- translacja
- symetria środkowa
- jednokładność
- symetria osiowa
- obrót o kąt
- symetria skośna
- odwzorowanie ścinające
- powinowactwo osiowe
Jak radzić sobie z odwracaniem, gdy oprócz macierzy przekształcenia (części liniowej) we wzorze występuje także część translacyjna, jak np. w jednokładności?
Co zrobić, gdy potrzebuję znaleźć obraz prostej względem powyższych przekształceń, a nie jednego punktu?
Dziękuję bardzo za wszelkie rady.
Odwracalne przekształcenia liniowe i afiniczne
-
AdamL
- Użytkownik
- Posty: 379
- Rejestracja: 21 sty 2012, o 01:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin/Warszawa
- Pomógł: 44 razy
Odwracalne przekształcenia liniowe i afiniczne
Ogólnie masz wzorki typu \(\displaystyle{ f:V->W}\)
to \(\displaystyle{ dim V = dim(ker f) + dim Im(f)}\)
Aby przekształcenie f było odwracalne wymiar jądra nie może być 'za duży' - tak luźno intuicyjnie mówiąc, aby po prostu było 'na czym zdefiniować przekształcenie odwrotne' - to znaczy \(\displaystyle{ dim Im(f)=dim V}\)
Jeśli gdzieś 'zgubisz za duzo wymiarów' to nie będzie 'na czym zdefiniować odwrotnego' - to tak luźno, intuicyjnie.
Można też operować językiem macierzy (ale to będzie mniej intuicyjne opowiadanie o wyznacznikach, minorach etc)
Przekształceniami afinicznymi się nie martw - każde z nich jest złożeniem właściwego przekształcenia liniowego i przesunięcia o wektor, które to jest odwracalne.
- translacja o wektor v - odwrotne to będzie translacja o wektor -v
- symetria środkowa - każda symetria złożona dwa razy daje identyczność, więc jest odwrotna sama do siebie
- jednokładność o skali k, \(\displaystyle{ k \neq 0}\)- to symetria i przeskalowanie - wystarczy jako przekształcenie odwrotne wziąć jednokładność o skali \(\displaystyle{ \frac1{1}{k}}\) (pytanie dodatkowe - czy jest odwrotne do jednokładnosci o skali 0?)
- symetria osiowa
- obrót o kąt
- symetria skośna
- odwzorowanie ścinające
- powinowactwo osiowe
Resztę przemyśl sama i napisz odpowiedzi lub przypuszczenia z komentarzem, bo w sumie nie wiem czy cokolwiek pomogłem
EDYCJA - nie zauwazylem tych pytan:
Weźmy przykład \(\displaystyle{ f:R^3->R^3}\) i niech to będzie jakaś tam jednokładność Możesz na to patrzeć jak na przekształcenie (macierz) przekształcające 4 punkty afinicznie niezalezne na 4 inne punkty lub (ważne) jako odwzorowanie przekształcające 3 wektory liniowo niezalezne na 3 wektory (te wektory na których działa przekształcenie to mogą być wektory zrobione na tych 4 punktach - wektory między nimi) ORAZ musisz zobaczyć na co przerzuca DOWOLNY punkt (najłatwiej rachunkowo na ogół brać punkt 0 - tutaj to będzie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\).
Drugie pytanie - każda prosta jest zdefiniowana przez dwa dowolne punkty na niej leżące, więc wystarczy wziąć dwa punkty z prostej, której obraz chcesz znaleźć, znaleźć ich obrazy i wyznaczyć za ich pomocą wzór tamtej prostej - najprościej jako punkt + wektor wodzący.
Mam nadzieje, że nie zagmatwałem jeszcze bardziej
to \(\displaystyle{ dim V = dim(ker f) + dim Im(f)}\)
Aby przekształcenie f było odwracalne wymiar jądra nie może być 'za duży' - tak luźno intuicyjnie mówiąc, aby po prostu było 'na czym zdefiniować przekształcenie odwrotne' - to znaczy \(\displaystyle{ dim Im(f)=dim V}\)
Jeśli gdzieś 'zgubisz za duzo wymiarów' to nie będzie 'na czym zdefiniować odwrotnego' - to tak luźno, intuicyjnie.
Można też operować językiem macierzy (ale to będzie mniej intuicyjne opowiadanie o wyznacznikach, minorach etc)
Przekształceniami afinicznymi się nie martw - każde z nich jest złożeniem właściwego przekształcenia liniowego i przesunięcia o wektor, które to jest odwracalne.
- translacja o wektor v - odwrotne to będzie translacja o wektor -v
- symetria środkowa - każda symetria złożona dwa razy daje identyczność, więc jest odwrotna sama do siebie
- jednokładność o skali k, \(\displaystyle{ k \neq 0}\)- to symetria i przeskalowanie - wystarczy jako przekształcenie odwrotne wziąć jednokładność o skali \(\displaystyle{ \frac1{1}{k}}\) (pytanie dodatkowe - czy jest odwrotne do jednokładnosci o skali 0?)
- symetria osiowa
- obrót o kąt
- symetria skośna
- odwzorowanie ścinające
- powinowactwo osiowe
Resztę przemyśl sama i napisz odpowiedzi lub przypuszczenia z komentarzem, bo w sumie nie wiem czy cokolwiek pomogłem
EDYCJA - nie zauwazylem tych pytan:
Do pierwszego - intuicja - przekształcenie afiniczne możesz rozumieć jako przekształcenie zadane na punktach przestrzeni albo jako złożenie liniowego i translacji o wektor.Jak radzić sobie z odwracaniem, gdy oprócz macierzy przekształcenia (części liniowej) we wzorze występuje także część translacyjna, jak np. w jednokładności?
Co zrobić, gdy potrzebuję znaleźć obraz prostej względem powyższych przekształceń, a nie jednego punktu?
Weźmy przykład \(\displaystyle{ f:R^3->R^3}\) i niech to będzie jakaś tam jednokładność
Możesz na to patrzeć jak na przekształcenie (macierz) przekształcające 4 punkty afinicznie niezalezne na 4 inne punkty lub (ważne) jako odwzorowanie przekształcające 3 wektory liniowo niezalezne na 3 wektory (te wektory na których działa przekształcenie to mogą być wektory zrobione na tych 4 punktach - wektory między nimi) ORAZ musisz zobaczyć na co przerzuca DOWOLNY punkt (najłatwiej rachunkowo na ogół brać punkt 0 - tutaj to będzie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\).Drugie pytanie - każda prosta jest zdefiniowana przez dwa dowolne punkty na niej leżące, więc wystarczy wziąć dwa punkty z prostej, której obraz chcesz znaleźć, znaleźć ich obrazy i wyznaczyć za ich pomocą wzór tamtej prostej - najprościej jako punkt + wektor wodzący.
Mam nadzieje, że nie zagmatwałem jeszcze bardziej