Znaleźć bazy jądra i obrazu przekształcenia

[SanchoPancho]

Witam,
mam problem z następującym zadaniem:
Znaleźć bazy \(\displaystyle{ \mbox{Ker}\ T}\) i \(\displaystyle{ \mbox{Im\ T}}\) przekształcenia \(\displaystyle{ T: D_{3\times 3}\to \RR_{3}[X]}\), gdzie \(\displaystyle{ D_{3\times 3}}\) oznacza przestrzeń macierzy diagonalnych.

\(\displaystyle{ T\left(\left[\begin{array}{ccc} a \ 0\ 0 \\ 0 \ b\ 0 \\ 0 \ 0\ c \end{array} \right]\right) = (a+b)x^3+(c-a)(x-1)^2+(b+c)(x+2)}\)

[lukasz1804]

Witaj,
zawsze, gdy rozważana jest przestrzeń wielomianów, proponuję ją najpierw (tymczasowo) utożsamić (przez izomorfizm) z przestrzenią euklidesową wymiaru o jeden wyższego niż stopień wielomianu, tj. w tym przypadku z \(\displaystyle{ \RR^4}\).

Tutaj podobny izomorfizm można też wykorzystać w odniesieniu do przestrzeni macierzy.

Wystarczy teraz przekształcić wzór wielomianu występującego po prawej stronie do klasycznej postaci: otrzymamy \(\displaystyle{ (a+b)x^3+(c-a)(x-1)^2+(b+c)(x+2)=(a+b)x^3+(c-a)x^2-2(c-a)x+(b+c)x+c-a+2(b+c)=(a+b)x^3+(c-a)x^2+(2a+b-c)x+(-a+2b+3c)}\).

Możesz zatem najpierw wyznaczyć jądro i obraz pomocniczego przekształcenia \(\displaystyle{ S_T:\RR^3\to\RR^4}\) danego wzorem

\(\displaystyle{ S_T(a,b,c)=(a+b,c-a,2a+b-c,-a+2b+3c)}\).

[SanchoPancho]

Dziękuję za odpowiedź, dobrze rozumiem że następnie tworzę macierz (przepraszam za takie rozjechanie współczynników w macierzy):
\(\displaystyle{ T\left(\left[\begin{array}{ccc} a \ 0\ 0 \\ 0 \ b\ 0 \\ 0 \ 0\ c \end{array} \right]\right) = \left(\left[\begin{array}{ccc} 1 \ 1 \ 0 \\ -1 \ 0 \ 1 \\2 \ 1\ -1\\ -1 \ 2\ 3 \end{array} \right]\right)}\) następnie zeruję jeden z wierszy, wyznaczam wiodące 1 i otrzymuję ImT oraz KerT?

[AdamL]

Jądro to te wektory w dziedzinie, które przechodzą na 0 czyli musisz zobaczyć\(\displaystyle{ T(czego)=0}\) ale mając wzór na T od razu robisz układ równań i masz. Aby wyznaczyć obraz T najłatwiej zrobić tak: wziąć wektory liniowo niezależne z wektorami, które są w jądrze i policzyć ich obraz. To znaczy jaśniej
bierzemy bazę \(\displaystyle{ D_{3x3} \approx R^3}\) wyrzucamy z niej co trzeba (wektory tworzące jądro przekształcenia) i patrzymy na co idą pozostałe wektory bazowe - to będzie obraz