Zależność wektorów w zależności od parametru a.

[edytka96]

Witam, mam zadanie z parametrem. Mam nadzieję, że znajdzie się ktoś, kto powie mi czy dobrze je rozwiązałam.

Dla jakich wartości parametru a, wektory są liniowo niezależne.
a) \(\displaystyle{ [2,-1]}\), \(\displaystyle{ [a+2,a-1]}\)

\(\displaystyle{ b_{1}[2,-1]+b_{2}[a+2,a-1]=[0,0]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}2b_{1}+b_{2}a+2b_{2}=0 \\ -b_{1}+b_{2}a-b_{2}=0 \end{cases}}\)

Po pomnożeniu drugiego równania przez 2 i dodaniu do siebie wyszło:

\(\displaystyle{ 3b_{2}a=0}\)

więc

\(\displaystyle{ b_2= \frac{0}{3a}}\)

odp: \(\displaystyle{ a\in R \setminus {0}}\)

b)\(\displaystyle{ [1,2a]}\), \(\displaystyle{ [a-1,12]}\)
\(\displaystyle{ b_{1}[1,2a]+b_{2}[a-1,12]=[0,0]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}b_{1}+b_{2}a-b_{2}=0 \\ 2ab_{1}+12b_{2}=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} b_{1}=b_{2}(1-a) \\ b_{2}(2a-2a^{2}+12)=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=3 \wedge a_{2}=-2}\)
Odp. \(\displaystyle{ a\in R \setminus {\left\{-2; 3\right\}}\)

[Dualny91]

Zasadniczo dobrze, tylko w ostatniej funkcji kwadratowej przy \(\displaystyle{ a^2}\) powinno stać chyba \(\displaystyle{ -2}\), a nie \(\displaystyle{ -1}\)

[SlotaWoj]

W obu częściach zadania mamy dwa wektory. Dwa wektory są liniowo zależne, gdy jeden jest iloczynem drugiego i jakiejś stałej. Nie są potrzebne dwie stałe – wystarczy jedna.

Więc prościej jest dla części a) np.:

• \(\displaystyle{ k\cdot[2;-1]=[a+2;a-1]}\)

[edytka96]

Ale w poleceniu jest, że mają być liniowo niezależne. Czyli współczynniki muszą spełniać równość \(\displaystyle{ b_1=b_2=0}\)

[SlotaWoj]

Liniowo niezależne, tzn. nieprawda że liniowo zależne.
Jeżeli są liniowo zależne, to któryś jest kombinacją liniową pozostałych i przy dwóch wektorach jedna stała wystarczy.

[edytka96]

No też fakt. Dziękuję za pomoc.