wyznaczanie bazy, wektory własne.

[Finarfin]

Mam takie 4 zadanka:
1. Zbadaj, czy istnieje baza utworzona przez wektory własne macierzy A:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&-11\\1&2&1\\-1&0&1\end{array}\right]}\)
Jeśli tak - podaj tę bazę.

2. Niech P2 będzie przestrzenią liniową wielomianów \(\displaystyle{ w(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2}\) , stopnia ≤2, o współczynnikach rzeczywistych. Sprawdź, czy przekształcenie f : P2 → P2 :
\(\displaystyle{ f (a_0 + a_1 x + a_2 x^2) = a_0 + (a_1-a_2 )x + (2a_0+3a_1 )x^2}\)
jest liniowe. Podaj jakiś własny przykład przekształcenia liniowego przestrzeni P2 .


3. Niech wektory \(\displaystyle{ u_1 , u_2 , u_3 , u_4}\) będą bazą ortonormalną pewnej przestrzeni euklidesowej V
wymiaru 4. Oblicz ||v||, ||v + w|| i < v, w > dla
\(\displaystyle{ v = 5u_1+5u_2-2u_3-2u_4 , w = 3u_1-3u_3 .}\)


4. Wyznacz bazy jądra i obrazu następującego przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f : R^4 ->R^3}\)
(x = [x1 , x2 , x3 , x4 ]):
\(\displaystyle{ f (x) = [x_1 + x_2+x_3-x_4 , 2x_1 + x_2-x_3 + x_4 , x_2+3x_3-3x_4 ]}\).

[Kasiula@]

zadanie1.
Najpier trzeba wyznaczyć wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1-\lambda&0&-11\\1&2-\lambda&1\\-1&0&1-\lambda\end{array}\right|=0}\)
Stąd otrzymujemy:\(\displaystyle{ \lambda_{1}=2,\lambda_{2}=1-\sqrt{11},\lambda_{3}=1+\sqrt{11}}\)
Każdej wartości własnej odpowiada jeden wektor własny. Wyznacze go dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2}\), dla pozostałych robi się analogicznie.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1-2&0&-11\\1&2-2&1\\-1&0&1-2\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 0\\0\\0\end{array}\right]}\)
Stąd wektor własny odpowiadający tej wartości własne ma współrzędne \(\displaystyle{ (0,1,0)}\)
Wyznaczając pozostałe wektory otrzymamy szukaną bazę.


Zadanie2.
Wystarczy sprawdzić, czy zachodzi następujacy warunek:
\(\displaystyle{ f(c_{1}w_{1}(x)+c_{2}w_{2}(x))=c_{1}f(w_{1}(x))+c_{2}f(w_{2}(x))}\), gdzie \(\displaystyle{ c_{1},c_{2}}\)-stałe
Mi wyszło,ze zachodzi taka równość.

[ Dodano: 5 Lipca 2007, 11:44 ]
Skoro \(\displaystyle{ u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}}\) tworzą bazę,to v i w można zapisać jako:
\(\displaystyle{ v=(5,5,-2,-2), w=(3,0,-3,0)}\)
więc:
\(\displaystyle{ \left< v, w \right> = 15 + 6 = 21 \\
\| v+w \| = \sqrt{(5+3)^2+(5+0)^2+(-2-3)^2+(-2)^2} = \sqrt{118} \\
\| v \|=\sqrt{5^2+5^2+(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{58}}\)
Mam nadzieje,ze w rachunkach sie nie pomyliłam