Cześć, mam problem z takimi równaniami. Jest ich cztery z czego jedno mi wyszło ale szczerze przyznaje się że nie rozumiem dlaczego to działa
\(\displaystyle{ x _{n+2} - 5x _{n+1} + 6x _{n} = 0 \wedge x _{0} \wedge x _{1} = 1}\)
Widać że to równanie liniowe oraz że \(\displaystyle{ x}\) tworzą jakiś ciąg. Na wykładzie było o równaniach Fibonacciego i ich własnościach (liniowe, coś tam o zbieżności wyrazów i kombinacji liniowej rozwiązań). Więc skorzystałem z tego i wyszło ładne i poprawne rozwiązanie: \(\displaystyle{ x _{n} = - 2^{n} + 3^{n} \wedge n \in N _{0}}\)
I teraz pytania:
1. Dlaczego mogłem tutaj skorzystać z równań Fibonacciego? Jak taki fakt komentować w zadaniu? A może w ogóle nie komentować tylko robić swoje? Bo widać nie do końca zbieżność wyrazów oraz że pierwsze dwa podane wyrazy są takie same jak w ciągu Fibonacciego?
2. Czy jeżeli stwierdzę, że jakieś równanie ma coś wspólnego z ciągiem Fibonacciego to mogę korzystać z faktu \(\displaystyle{ f _{n+2} = f _{n+1} + f _{n}}\)? Czy to tylko moje pobożne życzenie żeby było prościej?
Szczerze powiedziawszy, nie widzę, co tu ma do rzeczy równanie Fibonacciego. Mógłbyś dokładnie pokazać, jak to rozwiązałeś? Aha, żeby nie było, że tylko spamuję:
rozwiązanie z wykorzystaniem algebry liniowej:
Zapiszmy to (będzie wygodniej, choć niby na to samo wychodzi) jako \(\displaystyle{ x_{n}-5x_{n-1}+6x_{n-2}=0}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\), no i oczywiście \(\displaystyle{ x_{1}=1, x_{0}=1}\). Rozpatrzmy wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}x_{n+1}\\x_{n}\end{array}\right]}\) - mamy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}x_{n+1}\\x_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5&-6\\1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x_{n}\\x_{n-1}\end{array}\right]}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Teraz zauważmy, że dla większych \(\displaystyle{ n}\) możemy z kolei zapisać \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}x_{n}\\x_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5&-6\\1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x_{n-1}\\x_{n-2}\end{array}\right]}\), etc. Na drodze prostej indukcji dostajemy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}x_{n+1}\\x_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5&-6\\1&0\end{array}\right]^{n}\left[\begin{array}{cc}x_{1}\\x_{0}\end{array}\right]}\). To teraz jeszcze trzeba będzie jakoś ładnie spotęgować macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}5&-6\\1&0\end{array}\right]}\) - jej wielomian charakterystyczny to \(\displaystyle{ \det\left[\begin{array}{cc}5-x&-6\\1&-x\end{array}\right]=x^{2}-5x+6}\). Pierwiastki wielomianu charakterystycznego to \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\), a więc \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}5&-6\\1&0\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{cc}2&0\\0&3\end{array}\right] P^{-1}}\)dla pewnej macierzy odwracalnej \(\displaystyle{ P}\) o wymiarach \(\displaystyle{ 2\times 2}\). Stąd nietrudno wykazać, że \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}5&-6\\1&0\end{array}\right]^{n}=P\left[\begin{array}{cc}2&0\\0&3\end{array}\right]^{n} P^{-1}=P\left[\begin{array}{cc}2^{n}&0\\0&3^{n}\end{array}\right] P^{-1}}\) i temu będzie równe \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}x_{n}\\x_{n-1}\end{array}\right]}\). możemy teraz albo mozolnie znaleźć współczynniki macierzy \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P^{-1}}\) - w kolumnach \(\displaystyle{ P}\) będą wektory własne macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}5&-6\\1&0\end{array}\right]}\) odpowiadające wartościom własnym tej macierzy, czyli \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\), tj. takie wektory \(\displaystyle{ a,b}\), że \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}5&-6\\1&0\end{array}\right]a=2a}\)
oraz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}5&-6\\1&0\end{array}\right]b=3b}\), po czym wymnożyć macierze (blee), albo zauważyć, że jakie te współczynniki by nie był dostaniemy \(\displaystyle{ x_{n}=c_{1}2^{n}+c_{2}3^{n}}\) dla pewnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ c_{1}}\) i \(\displaystyle{ c_{2}}\). No to podstawiając \(\displaystyle{ n=2}\) oraz \(\displaystyle{ n=3}\) dostajemy układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}=c_{1}2^{2}+c_{2}3^{2} \\ x_{3}=c_{1}2^{3}+c_{2}3^{3}\end{cases}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ x_{2}=5x_{1}-6x_{0}=-1}\) oraz \(\displaystyle{ x_{3}=5x_{2}-6x_{1}=-11}\), to z tego układu możemy wyliczyć \(\displaystyle{ c_{1}=2}\) oraz \(\displaystyle{ c_{2}=-1}\) i koniec. Czyli wyszło mi \(\displaystyle{ x_{n}=2^{n+1}-3^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Możliwe błędy rachunkowe, ale jeśli ma być \(\displaystyle{ x_{1}=1 \wedge x_{0}=1}\), to przynajmniej \(\displaystyle{ x_{2}}\) i \(\displaystyle{ x_{3}}\) się zgadzają. A jeśli miało być \(\displaystyle{ x_{0}=0}\) i \(\displaystyle{ x_{1}=1}\), to już Twój problem, bo dziwnie to zapisałeś, w każdym razie idea rozwiązania się nie zmienia.
