Witam, niedługo egzamin a ja nie wiem czy dobrze robię zadanie, dlatego prosze kogoś kto rozumie temat o skontrolowanie czy aby napewno wszystko dobrze rozwiazuje
Polecenie:
Niech \(\displaystyle{ f: Z ^{3} \rightarrow Z ^{2}}\) bedzie odwzorowaniem określonym wzorem:\(\displaystyle{ f (z _{1},z _{2},z _{3}) ^{T} = \left[ z _{1} - z _{2} + z _{3}, z _{1} + 4 z _{2}\right] ^{T}}\)
a) wykazać, że f jest przekształceniem liniowym
b) wyznaczyć macierz f w bazach kanonicznych przestrzeni \(\displaystyle{ Z ^{3} i Z ^{2}}\)
c) wyznaczyć macierz f w bazie:
\(\displaystyle{ B=\left( \left[
\begin{array}{cc}
i \\
0 \\
i \\
\end{array}
\right] ,
\left[
\begin{array}{cc}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right] ,
\left[
\begin{array}{cc}
-1 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]
\right)}\)
a) Aby funkcja była przekształceniem liniowym musza zachodzic warunki \(\displaystyle{ f(x+y) = f(x) + f(y)}\) i \(\displaystyle{ \alpha f(x) = f( \alpha x)}\)
2 warunek jest szybki bo po zastosowaniu przekstzałcenia otrzymałem taka macierz:
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
\alpha z _{1} - \alpha z _{2} + \alpha z _{3}\\
\alpha z _{1} + 4 \alpha z _{2}
\end{array}
\right]}\)
Wyciągnałem Alfe przed macierz, wiec udowodniłem warunek.
1 warunek zrobiłem w ten sposób:
\(\displaystyle{ L=\left( \left(z _{1},z _{2},z _{3}\right) +\left( z _{4},z _{5},z _{6}\right) \right) = \left[
\begin{array}{cc}
z _{1} + z _{4} - z _{2} - z _{5} + z _{3} + z _{6}\\
z _{1} + z _{4} +4 z _{2} +4 z _{5}
\end{array}
\right]
P= f\left(z _{1},z _{2},z _{3}\right) + f \left(z _{4},z _{5},z _{6}\right) = \left[
\begin{array}{cc}
z _{1} - z _{2} + z _{3} \\
z _{1} +4 z _{2}
\end{array}
\right] + \left[
\begin{array}{cc}
z _{4} - z _{5} + z _{6}\\
z _{4} +4 z _{5}
\end{array}
\right]}\)
po dodaniu macierzy L=P, czyli spełnione są oby dwa warunki, czyli odwzorowanie f jest przekształceniem liniowym
b.
Wektor\(\displaystyle{ \left( 1,0,0\right)}\) przechodzi w\(\displaystyle{ \left( 1,1\right)}\)
Wektor \(\displaystyle{ \left( 0,1,0\right)}\) przechodzi w\(\displaystyle{ \left( -1,4\right)}\)
Wektor\(\displaystyle{ \left( 0,0,1\right)}\) przechodzi w\(\displaystyle{ \left( 1,0\right)}\)
Wiec otrzymuę macierz:
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{ccc}
1 &-1 & 1\\
1 &4 & 0
\end{array}
\right]}\)
C)
\(\displaystyle{ f\left( Bw _{1}\right) = \left[
\begin{array}{c}
i - 0 +i\\
i
\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{c}
2i\\
i
\end{array}
\right]}\)
Podobnie z naspnymi wektorami z Bazy B i otrzymałem finalnie macierz:
\(\displaystyle{ B= \left[
\begin{array}{ccc}
2i & 0 &0\\
i & 5& -1
\end{array}
\right]}\)
