Macierz inwolutywna przykład

[NoMirror]

Proszę podać przykład macierzy inwolutywnej trzeciego stopnia.

[szw1710]

Nie wiem czy jest to macierz inwolucji przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\) w siebie. Jeśli tak to należy rozumieć, trzeba się zastanowić, co jest inwolucją. Jest to odwzorowanie, które samo do siebie jest odwrotne. Np. symetria środkowa. Jest to zwyczajnie odwzorowanie \(\displaystyle{ f(x)=-x}\) dla \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2,x_3)\in\RR^3}\). Napisz jego macierz.

Inwolucjami są też symetrie osiowe, płaszczyznowe, obroty o kąt półpełny w ustalonej płaszczyźnie itp.

[Medea 2]

Chodzi o liniowe funkcje \(\displaystyle{ f \colon \RR^n \to \RR^n}\) takie, że \(\displaystyle{ f \circ f \circ f}\) jest identycznością? Dla jakiego \(\displaystyle{ n}\)?

Zauważ, że w grupę \(\displaystyle{ \textrm{SL}_n(\RR)}\) można zanurzyć \(\displaystyle{ S_n}\). Ty możesz ograniczyć się do rozpatrzenia permutacji wersorów \(\displaystyle{ e_1 \mapsto e_2 \mapsto e_3 \mapsto e_1}\), która przedłuża się jednocześnie do liniowej funkcji \(\displaystyle{ \RR^3 \to \RR^3}\).

[szw1710]

Może nie jednocześnie, a jednoznacznie. Takie pojęcie, jak piszesz, ma większy sens.

[NoMirror]

Szczerze mówiąc to nie rozumiem ani słowa.. Prosiłam tylko o przykład macierzy inwolutywnej \(\displaystyle{ A}\), u której zachodzi \(\displaystyle{ A^2=1}\)

[szw1710]

Ja podałem przykład, o który prosiłaś, musisz jedynie napisać macierz odwzorowania \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(-x,-y,-z)}\). Zadanie bardziej podoba mi się w sensie Koleżanki Medea 2, która także podała swoje wskazówki. Odwzorowanie liniowe wystarczy zadać na bazie, więc np. bierzemy \(\displaystyle{ f(e_1)=e_2}\), \(\displaystyle{ f(e_2)=e_3}\), \(\displaystyle{ f(e_3)=e_1}\). Tak zadane odwzorowanie ma opisaną własność, że trzykrotne złożenie daje identyczność. Wystarczy takie \(\displaystyle{ f}\) rozszerzyć do odwzorowania liniowego na całej przestrzeni i napisać macierz tego przekształcenia. A w zasadzie macierz już jest, bo mamy obrazy na bazie.