Macierz odwzorowania liniowego

[RedLine]

Witam, mam ogromny problem ze zrozumieniem sposobu obliczania macierzy odwzorowania liniowego i jakoś inne tłumaczenia na forach do mnie nie trafiają. Mam takie odwzorowanie: \(\displaystyle{ R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\) i wzór \(\displaystyle{ F(x _{1}, x _{2}, x _{3}) = (3x _{1}+x _{3}, x _{2}-x _{3}, 2x _{3})}\). Jeśli dobrze rozumiem będzie to macierz 3 na 3, ale nie wiem co z bazami. Jeśli nie ma ich podanych w zadaniu to są chyba (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Na tym kończy się moja wiedza. Bardzo proszę o rozpisanie krok po kroku co mam robić. Proszę o dużo, ale jestem bezradny a taki modelowy przykład by mi bardzo pomógł.

[miodzio1988]

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=fccL7pNJCBc

Tutaj masz całą procedurę rozpisaną. Gdzie się gubisz?

[a4karo]

Napisz sobie \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}\), policz, czemu równa się \(\displaystyle{ Ax}\) i porównaj z prawą stroną wzoru na \(\displaystyle{ F}\). Współczynniki same wyjdą

[RedLine]

Gubię się w tych bazach. Nie potrafię odnieść rozwiązania z filmiku do mojego zadania bo tam są 2 podane a ja nie mam podanej bazy więc przyjmuje taką standardową jaką napisałem wyżej. Potrzebuję szybkiego rozwiązania ponieważ akurat wyjątkowo w tym przypadku nie muszę rozpisywać całej teorii a obliczenie tej macierzy to podstawa i zarazem ok. 1/8 całego zadania więc nie może mi to zająć dużo czasu.

Nie za bardzo rozumiem mam wpisać: \(\displaystyle{ Ax=\left[\begin{array}{ccc}3x _{1}+x _{3}\\x _{2}-x _{3}\\2x _{3}\end{array}\right]}\)?

[miodzio1988]

a ja nie mam podanej bazy więc przyjmuje taką standardową jaką napisałem wyżej.

No to stosujesz "standardowe bazy" czyli macierze jednostkowe

[a4karo]

Nie za bardzo rozumiem mam wpisać: \(\displaystyle{ Ax=\left[\begin{array}{ccc}3x _{1}+x _{3}\\x _{2}-x _{3}\\2x _{3}\end{array}\right]}\)?

Włąsnie tak, tylko zapisz \(\displaystyle{ Ax}\) w języku \(\displaystyle{ a,b,\dots, x_1,x_2,x_3}\)

[RedLine]

więc jeśli zrobiłbym macierz jednostkową \(\displaystyle{ x=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\) i macierz \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}3x _{1}+0x_{2}+x _{3}\\0x_{1}+x _{2}-x _{3}\\0x_{1}+0x _{2}+2x _{3}\end{array}\right]}\) i przemnożył przez siebie to mi wyjdzie dobrze?

albo w sumie podstawił pod \(\displaystyle{ x_{1}, x _{2}}\)... wyrazy macierzy jednostkowej

[a4karo]

\(\displaystyle{ x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}}\)

[RedLine]

Wydaje mi się, że sobie poradziłem. Czy to dobry wynik: \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}3&0&1\\0&1&-1\\0&0&2\end{bmatrix}}\) ?

[miodzio1988]

Dobry.

[RedLine]

Dziękuję wam za pomoc

[deathmagnetic]

Cześć. Potrzebuję pomocy,nie wiem jak rozwiązać te zadania:
1. Znaleźć macierz odwzorowania f we wskazanych bazach E,F f:R^{2} \rightarrow R^{3}
E=((1,1),1,-1)) f(x,y)=(x+y,2x+y,x-3y) F=((1,-1,0),(0,1,-1),0,0,1)).

2.Dane jest R _{2}[x] \rightarrow R_{2}[x] i f(p(x))=xp'(x) + p(0). Znaleźć macierz przejścia od bazy E=(1,x+1, x^{2}+1) do bazy standardowej F=(1,x, x^{2}.