Układ równań różniczkowych - kiedy zależny?

[spitfire]

Hej.

Mam problem ze zrozumieniem kiedy układ równań różniczkowych jest zależny. Przykładowo rozwiązując układ równań różniczkowych rzędu I o stałych współczynnikach metodą macierzy dochodzę do

\(\displaystyle{ \lambda = 3


\begin{bmatrix}
4-\lambda & -2\\
1& 1-\lambda\\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
k_{1} \\
k _{2} \\
\end{bmatrix}
=
0}\)

mam teraz napisane że układ jest zależny i że rozwiązanie zależy od jednego parametru "s", ale dlaczego tak jest? kolejny etap:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
k_{1} \\
k _{2} \\
\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix}
2 \\
1\\
\end{bmatrix}}\)

proszę o w miarę jasną odpowiedź, bo matematykę mam dawno za sobą ale na jednym z przedmiotów na magisterium uczymy się znów tych wszystkich rzeczy

[miodzio1988]

Te wartości własne zerują Ci wyznacznik macierzy głównej. Teraz przypomnij sobie co mówi twierdzenie kroneckera capellego dla ukladów równan jednorodnych przy takim warunku

[spitfire]

OK, sprawdzamy więc rząd macierzy A i macierzy uzupełnionej kolumną zer, oba rzędy w naszym przypadku wynoszą 1. Przez to że w układzie mamy 2 niewiadome a rząd A=A|B=1 wiemy że układ ma nieskończenie wiele rozwiazań zależnych od parametru. Jak jednak należy wprowadzić ten parametr, i skąd wziął się ten zapis w 1szym poście?

Sorry jesli pytania są trywialne, ale jak mówiłem baardzo dawno tego nie było

[miodzio1988]

Rozwiązując dany układ jednorodny metodą Gaussa

[spitfire]

Dzięki