Odwzorowanie / wartości własne / układ równań

[Simon7319]

Witam, potrzebuję pomocy przy takich oto 3-ech zadaniach:
1. Podać przykład takiego odwracalnego operatora \(\displaystyle{ T \in L( R^{3} )}\) oraz takiej bazy \(\displaystyle{ (v_1, v_2, v_3)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) , że wyrazy na przekątnej macierzy \(\displaystyle{ M(T, (v_1,v_2,v_3))}\) są zerami;

2. Wykazać, że \(\displaystyle{ 0}\) jest wartością własną dowolnej macierzy kwadratowej, w której suma wyrazów w każdym wierszu jest równa \(\displaystyle{ 0}\);

3. Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\), układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + \beta y -4 \alpha z = 2; \\ 2 \alpha x - 2z = 0 \end{cases}}\)
nie posiada rozwiązań?

[Peter Zof]

Co do (2). Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą kwadratową spełniającą wymienione wyżej warunki. Można bez problemu pokazać ogólniejsze twierdzenie, że jeśli suma elementów w każdym wierszu wynosi \(\displaystyle{ h}\), wtedy \(\displaystyle{ h}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ v=(1,1,\dots,1)^T \in \mathbb{R}^n}\). Rozważmy jak działa macierz \(\displaystyle{ A}\) na tym wektorze. Po prostych kalkulacjach otrzymujemy, że \(\displaystyle{ Av=(h,h,\dots,h)^T=h(1,1\dots,1)^T=hv}\), co pokazuje, że \(\displaystyle{ h}\) jest wartością własną tej macierzy. Aby pokazać (2) wystarczy położyć \(\displaystyle{ h=0}\).