Znaleźć bazy KerT i ImT przekształcenia T

[dwinar]

Cześć,

nie do końca rozumiem co się robi w przypadku przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2x2}}\). Dla przykładu podam, że w przypadku zwykłej \(\displaystyle{ R^3}\) i \(\displaystyle{ R^2}\), gdzie podane było \(\displaystyle{ T(x, y, z) = (z, 2y -x)}\) po prostu wyznaczało się \(\displaystyle{ x(0, -1) + y(0, 2) + z(1, 0)}\) i dalej szukało się wiodących jedynek w utworzonej macierzy. Zadania, które przedstawiam poniżej nie potrafię zacząć.

Właściwe zadanie
Znaleźć bazy \(\displaystyle{ KerT}\) i \(\displaystyle{ ImT}\) przekształcenia \(\displaystyle{ T : R_2[x] \rightarrow R_{2x2}}\)

\(\displaystyle{ T(p(x)) = \begin{bmatrix} p(1)&p'(1)\\0&p''(0)\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&p(0)\\p'(1)&p'(0) \end{bmatrix}}\)

Z góry dziękuję za wskazówki.

[Arytmetyk]

Przestrzeń \(\displaystyle{ R_2[x]}\) to przestrzeń wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\) o wsp. rzeczywistych.

Zatem elementami przestrzeni są funkcje kwadratowe postaci \(\displaystyle{ p(x)=ax^2+bx+c}\); \(\displaystyle{ a,b,c \in R}\)

Przekształcenie to działa następująco:

\(\displaystyle{ T(ax^2+bx+c)=\begin{bmatrix} a+b+c&2a+b\\0&2a\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&c\\2a+b&b \end{bmatrix}}\)

Zatem teraz trzeba wyznaczyć \(\displaystyle{ Ker T=\left\{ \vec{p} : T(p)= \vec{0} \right\}}\) co zrobisz rozwiązując odpowiedni układ równań, dalej z wyznaczeniem bazy nie powinno być problemów.

[buffalo42]

Czy mogę kogoś prosić o sprawdzenie, czy dobrze pociągnąłem dalej to zadanie?

Z przyrównania \(\displaystyle{ T(p)=\vec{0}}\) otrzymuję układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0\\2a+b+c=0\\2a+b=0\end{cases}}\)

Dla którego

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right]
\rightarrow ... \rightarrow
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ KerT=\left\{ \overrightarrow{p} \in R _{2} [x] : a=b=c=0\right\} = \left\{ \overrightarrow{0}\right\}
dimKerT=0}\)

\(\displaystyle{ ImT=\left\{ T(\overrightarrow{p}) : p(x) \in R _{2}[x] \right\} = \left\{
a\begin{bmatrix} 1&2\\2&2\end{bmatrix} +
b\begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix} +
c\begin{bmatrix} 1&1\\0&0\end{bmatrix} : a,b,c \in R \right\} = \mathcal{L}\left\{
\begin{bmatrix} 1&2\\2&2\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 1&1\\0&0\end{bmatrix} \right\} dimImT=3}\)
\(\displaystyle{ dimV=3}\)

(Przekształcenie T jest izomorficzne)