Znaleźć macierz przekształcenia

[dwinar]

Cześć,

proszę o podpowiedź czy dobry wynik uzyskałem, bo nie wiem czy w ogóle rozumiem zadanie.

Zad.
Niech \(\displaystyle{ T : R^3 \rightarrow R^3}\) oznacza rzut prostopadły na płaszczyznę \(\displaystyle{ 2 \cdot x + y + z = 0}\). Znaleźć macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\).

Rozw.
Bazy standardowe: \(\displaystyle{ B = C = \left\{\left[ 1, 0, 0 \right] , \left[ 0, 1, 0 \right] , \left[ 0, 0, 1 \right] \right\}}\), ponieważ przejście jest z \(\displaystyle{ T : R^3 \rightarrow R^3}\) więc \(\displaystyle{ B = C}\). Z kolei ze względu na \(\displaystyle{ 2x}\) należy pomnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) pierwszy wektor.

Zatem macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

Zrobiłem to "na czuja" i nie wiem czy dobrze. Z góry dziękuję za pomoc.

[janusz47]

Metoda pierwsza (geometryczna)

\(\displaystyle{ M(T) = \left[ e'_{1}, e'_{2}, e'_{3}\right]^{T}}\)

gdzie
\(\displaystyle{ e'_{1} = T(e_{1}), e'_{2}= T(e_{2}), e'_{3}= T(e_{3}).}\)

Metoda druga (algebraiczna)

Baza \(\displaystyle{ V \subset R^3}\)

\(\displaystyle{ (x,y,z) = ( x, y, -2x- y)= x(1, 0,-2)+ y(0,1,-1)}\)

\(\displaystyle{ \nu = \left\{ (1,0,-2), (0,1,-1) \right\}.}\)

Baza przestrzeni
\(\displaystyle{ U = R^3}\)

\(\displaystyle{ \gamma = \left\{ (1,0, -2), (0,1,-1), (2,1,1)\right\}.}\)

\(\displaystyle{ P}\) rzut \(\displaystyle{ V}\) wzdłuż prostej \(\displaystyle{ W = lin \left \{(2,1,1)\right \}.}\)

Z definicji rzutu jako przekształcenia

\(\displaystyle{ P( 1,0,-2) = (1,0,-2), \ \ P(0,1,-1)= (0, 1,-1).}\)

Znajdujemy macierz odpowiadającą \(\displaystyle{ P}\) w bazach standardowych, sprowadzając ją do zredukowanej postaci schodkowej metodą przekształceń elementarnych

\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&-2&1&0&-2\\ 0&1&-1&0&1&-1\\2&1&1&0&0&0 \end{array}\right)\leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&-2&1&0&-2\\ 0&1&-1&0&1&-1\\0&1&5&-2&0&4 \end{array}\right)\leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&-2&1&0&-2\\0&1&-1&0&1&-1\\0&0&6&-2&-1&5\end{array}\right)\leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&-2&1&0&-2\\0&1&-1&0&1&-1\\0&0&1&-2/6&-1/6&5/6\end{array}\right)\leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ \left (\begin{array}{cccccc}1&0&0&1/6&-2/6&-2/6\\0&1&0&-2/6&5/6&-1/6\\0&0&1&-2/6&-1/6&5/6\end{array}\right)\leftrightarrow}\)

\(\displaystyle{ M(T)= \frac{1}{6}\left (\begin{array}{ccc}1&-2&-2\\ -2&5&-1\\ -2&-1&5 \end{array}\right).}\)

Metoda trzecia ( ortogonalizacji Grama-Schmidta)

Metoda czwarta (rzutu ortogonalnego)

[dwinar]

Dzięki za odpowiedź. Jednak dalej nie do końca rozumiem.

Z czego wynika zapis "\(\displaystyle{ (x,y,z) = ( x, y, -2x- y)= x(1, 0,-2)+ y(0,1,-1)}\)"?

Domyślam się, że chodzi o przecięcie się dwóch płaszczyzn:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=0\\2x+y+z=0 \end{array}\right.}\)

Dalej \(\displaystyle{ (x,y,z) = ( x, y, -2x- y)= x(1, 0,-2)+ y(0,1,-1)}\) czy to są wektory?

[janusz47]

Ta równość wynika z przekształcenia równania płaszczyzny i są to wektory bazowe, rozpinające płaszczyznę rzutu \(\displaystyle{ V \subset R^3.}\)

[dwinar]

Czy \(\displaystyle{ P}\) rzut \(\displaystyle{ V}\) wzdłuż prostej \(\displaystyle{ W = lin \left \{(2,1,1)\right \}}\) został wykonany dlatego, że wektor \(\displaystyle{ \left[ 2, 1, 1 \right]}\) jest wektorem normalnym płaszczyzny \(\displaystyle{ 2x + y + z = 0}\)?

Czym dokładnie jest \(\displaystyle{ P}\)? Punktem? Rzutem?

Dlaczego \(\displaystyle{ P(1, 0, -2) = (1, 0, -2)}\) oraz \(\displaystyle{ P(0, 1, -1) = (0, 1, -1)}\)? Czy po rzucie na płaszczyznę \(\displaystyle{ 2x + y + z = 0}\) wzdłuż prostej \(\displaystyle{ W}\) te wektory nie zmienią się?

[janusz47]

Odpowiedziałeś sobie sam na Twoje pytania. Dokładnie tak.

[dwinar]

To znaczy, że w końcu coś zrozumiałem. Dziękuję Ci za pomoc.