Podprzestrzeń, obraz, jądro..

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Podprzestrzeń, obraz, jądro..

Post autor: blade »

Robiłem już tutaj podobne zadanie, ale nie potrafię ocenić, czy poprawnie rozumuję (jako, że to było już jakiś czas temu..). Rozbiłem zadanie na kilka części, aby lepiej się to czytało.
1.Najpierw mam sprawdzić, że zbiór macierzy \(\displaystyle{ H=\left\{\left[\begin{matrix}-a&b\\c&a\end{matrix}\right] : a,b,c \in \RR\right\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ M_{2\times2}(\RR)}\)
No więc :
PODPRZESTRZEŃ PRZESTRZENI:    
2.Następnie muszę znaleźć bazę \(\displaystyle{ B_1}\) tej podprzestrzeni oraz jej wymiar
BAZA I WYMIAR:    
3.Wykaż, że odwzorowanie \(\displaystyle{ f: H\rightarrow \CC(\RR)}\) takie, że \(\displaystyle{ f\left( \left[\begin{matrix}-a&b\\c&a\end{matrix}\right]\right) = a-ib}\) jest liniowe
LINIOWOŚĆ ODWZOROWANIA:    
4.Znajdź \(\displaystyle{ ker f, im f}\), ich bazy i wymiary. Czy \(\displaystyle{ f}\) jest monomorfizmem lub epimorfizmem ?
OBRAZ, JĄDRO ITP.:    
5.Znajdź \(\displaystyle{ M_f(B_1,B_2)}\) gdzie \(\displaystyle{ B_2}\) jest wybraną przez Ciebie bazą w \(\displaystyle{ \CC(\RR)}\)
MACIERZ W BAZACH:    
Byłbym wdzięczny za sprawdzenie - szczególnie zależy mi na punkcie 4 i 5.
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Podprzestrzeń, obraz, jądro..

Post autor: Medea 2 »

Co oznacza zapis \(\displaystyle{ \CC (\RR)}\)?
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Podprzestrzeń, obraz, jądro..

Post autor: blade »

Ciało liczb zespolonych nad zbiorem liczb rzeczywistych?
Tak było w poleceniu zadania.
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Podprzestrzeń, obraz, jądro..

Post autor: Medea 2 »

Gdybym to ja sprawdzała Twój egzamin, raczej bym Ci nie zaliczyła takiego rozwiązania. Jest stosunkowo niechlujne. Pokażę Ci, jak poprawnie rozwiązać punkt czwarty, z piątym nie chce mi się męczyć. Najpierw jądro. \(\displaystyle{ v \in \ker f \Leftrightarrow f(v) = 0}\). Jeżeli \(\displaystyle{ v}\) jest postaci

\(\displaystyle{ v = \left[\begin{matrix}-a&b\\c&a\end{matrix}\right]}\),

to \(\displaystyle{ f(v) = 0 \Leftrightarrow a = b = 0}\) - wystarczy przyrównać część rzeczywistą i urojoną zera oraz \(\displaystyle{ f(v)}\). Liczba \(\displaystyle{ c}\) jest dowolna, zatem

\(\displaystyle{ \ker f = \left\{\left[\begin{matrix}0&0\\c & 0\end{matrix}\right] : c \in \RR\right\}}\).

Pozostało wskazanie obrazu. Łatwo zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest "na" zbiór \(\displaystyle{ \CC}\). Jest tak dlatego, że po ustaleniu \(\displaystyle{ a + bi \in \CC}\) (z rzeczywistymi \(\displaystyle{ a, b}\)) mamy

\(\displaystyle{ f\left(\left[\begin{matrix}-a& - b\\0&a\end{matrix}\right] \right) = a+ b \textrm{i}}\).
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2015, o 07:35 przez Medea 2, łącznie zmieniany 1 raz.
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Podprzestrzeń, obraz, jądro..

Post autor: blade »

Medea 2 pisze:Gdybym to ja sprawdzała Twój egzamin, raczej bym Ci nie zaliczyła takiego rozwiązania.
O ironio dostałem za to rozwiązanie maksymalną ilość punktów , ale to było jakiś czas temu, zapomniałem jak to było z tym obrazem, nadal nie rozumiem. Byłbym wdzięczny jeśli wypisałabyś bazę, bo nie wiem czy moja jest dobrze, a z Twojego zapisu
\(\displaystyle{ f\left(\left[\begin{matrix}-a& - b\\0&a\end{matrix}\right] \right) = a+ b \textrm{i}}\)
Jakoś nie mogę zauważyć co jest obrazem.
Ja w swoim zapisałem
\(\displaystyle{ B_{im f} = \left( (1,0,0),(0,-i,0) \right)}\)
Ale tak naprawdę, teraz zapisałbym - \(\displaystyle{ B_{imf} = \left((1,0),(0,-i)\right)}\) - nie byłem tutaj pewien, dlatego że \(\displaystyle{ c}\) nie występowało, ale to chyba jednak nie ma znaczenia, bo \(\displaystyle{ \CC(\RR)}\) jest dwuwymiarowe, a nie trzy.
Medea 2 pisze: Jest stosunkowo niechlujne
Tak niestety rozwiązywaliśmy na ćwiczeniach i tak się też nauczyłem.
Medea 2 pisze:z piątym nie chce mi się męczyć.
A czy moje rozwiązanie co do piątego jest całkowicie złe ?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Podprzestrzeń, obraz, jądro..

Post autor: Medea 2 »

blade pisze: \(\displaystyle{ f\left(\left[\begin{matrix}-a& - b\\0&a\end{matrix}\right] \right) = a+ b \textrm{i}}\)
Jakoś nie mogę zauważyć co jest obrazem.
Cały zbiór \(\displaystyle{ \CC}\) jest obrazem, czyli Twoja funkcja to surjekcja. Ustaliłam dowolną liczbę zespoloną i wskazałam element dziedziny, który funkcja \(\displaystyle{ f}\) przenosi na liczbę. Zawsze mi się to uda, zatem funkcja jest "na".
blade pisze: Ja w swoim zapisałem
\(\displaystyle{ B_{im f} = \left( (1,0,0),(0,-i,0) \right)}\)
Ale tak naprawdę, teraz zapisałbym - \(\displaystyle{ B_{imf} = \left((1,0),(0,-i)\right)}\) - nie byłem tutaj pewien, dlatego że \(\displaystyle{ c}\) nie występowało, ale to chyba jednak nie ma znaczenia, bo \(\displaystyle{ \CC(\RR)}\) jest dwuwymiarowe, a nie trzy.
Bazą \(\displaystyle{ \CC}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\) jest \(\displaystyle{ \{(1,0), (0,1)\}}\). Zauważ, że współrzędne wektorów bazowych muszą być liczbami rzeczywistymi - wszak nad tym ciałem pracujemy.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Podprzestrzeń, obraz, jądro..

Post autor: yorgin »

Medea 2 pisze:Gdybym to ja sprawdzała Twój egzamin, raczej bym Ci nie zaliczyła takiego rozwiązania. Jest stosunkowo niechlujne.
Za niechlujne lub mocno chaotyczne, ale poprawnie wykonane zadanie nie zeruje się zadania. Można co najwyżej odjąć minimalną liczbę punktów.

Oceniając punkt czwarty (pierwszy post) nie widzę dokładnie, dlaczego ostatecznie jądro jest takie, a nie inne. takie skromne machanie rękami.

Obraz można, poza metodą przedstawioną wyżej, próbować też wyznaczyć patrząc na to, kombinacją czego jest wektor z obrazu. Zostało to "mniej więcej" zapisane.
blade pisze: Tak niestety rozwiązywaliśmy na ćwiczeniach i tak się też nauczyłem.
Na ćwiczeniach więcej się mówi, niż zapisuje. Nauka wyłącznie z takich notatek bez komentarzy prowadzi czasem do chaosu. W zapisie jest trochę chaosu, ale też wiele innych niedociągnięć.
\(\displaystyle{ u \in im f \Leftrightarrow u \in \CC(\RR) : \exists_x f(x)=u}\)
Powyższe razi po oczach

Któtki komentarz do piątego: wygląda to dobrze. Tzn obliczenia, gdyż nie stosuję, a co za tym idzie, nie znam oznaczenia \(\displaystyle{ M_f(C,D)}\).
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Podprzestrzeń, obraz, jądro..

Post autor: blade »

yorgin pisze:
Oceniając punkt czwarty (pierwszy post) nie widzę dokładnie, dlaczego ostatecznie jądro jest takie, a nie inne. takie skromne machanie rękami.
A gdybym zapisał : \(\displaystyle{ ker f = \left\{\left[\begin{matrix}0&0\\c&0\end{matrix}\right] : c \in \RR \right\} = lin \left\{\left[\begin{matrix}0&0\\1&0\end{matrix}\right]\right\}}\)
Z krótkim komentarzem, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) musi być równe zero, aby odwzorowanie się zerowało. To byłoby już lepiej ?
yorgin pisze:Na ćwiczeniach więcej się mówi, niż zapisuje. Nauka wyłącznie z takich notatek bez komentarzy prowadzi czasem do chaosu.
U nas rozwiązujemy pokolei zadania na tablicy, prowadzący bierze chętnego, który to rozwiązuje, ale metody przeważnie narzuca prowadzący.. Gdybym miał to jeszcze raz rozwiązywać, to jestem pewien, że zapisałbym tak samo .

Dzięki za pomoc
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Podprzestrzeń, obraz, jądro..

Post autor: yorgin »

blade pisze: A gdybym zapisał : \(\displaystyle{ ker f = \left\{\left[\begin{matrix}0&0\\c&0\end{matrix}\right] : c \in \RR \right\} = lin \left\{\left[\begin{matrix}0&0\\1&0\end{matrix}\right]\right\}}\)
Z krótkim komentarzem, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) musi być równe zero, aby odwzorowanie się zerowało. To byłoby już lepiej ?
Tak. Warto zaznaczyć, że z rozumowania wynika również, że \(\displaystyle{ c}\) jest dowolne.
blade pisze: U nas rozwiązujemy pokolei zadania na tablicy, prowadzący bierze chętnego, który to rozwiązuje, ale metody przeważnie narzuca prowadzący.. Gdybym miał to jeszcze raz rozwiązywać, to jestem pewien, że zapisałbym tak samo .
Małe ćwiczenie. Próbuj zapisywać rozwiązania tak, aby dało się je swobodnie czytać. Tak, by osoba je czytająca nie musiała "między wierszami" doszukiwać się właściwego sensu lub porządku. Na początku nie jest to proste, ale z "wiekiem i doświadczeniem" przychodzi. Trening czyni mistrza
ODPOWIEDZ