Zadanie: Macierz \(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc}H&d\\d^\mathrm{T}&c\end{array}\right]}\) wymiaru \(\displaystyle{ n\times n}\) ma blok \(\displaystyle{ H=I-2ww^{\mathrm{T}}}\), gdzie \(\displaystyle{ w\in\mathbb{R}^{n-1}}\) jest wektorem jednostkowym. Jaki warunek muszą spełniać wektory \(\displaystyle{ w}\) i \(\displaystyle{ d}\) oraz liczba \(\displaystyle{ c}\), aby macierz \(\displaystyle{ A}\) była nieosobliwa? Zaproponuj algorytm rozwiązywania układów równań liniowych z taką macierzą możliwie niskim kosztem przy założeniu, że dane są wektory \(\displaystyle{ w}\) i \(\displaystyle{ d}\), liczba \(\displaystyle{ c}\) i wektor prawej strony. Oszacuj ten koszt.
Szkic rozwiązania: Korzystamy z postaci blokowej macierzy i obliczamy czynniki rozkładu \(\displaystyle{ A=LU}\). Mamy \(\displaystyle{ L=\left[ \begin{array}{cc}I&0\\l^\mathrm{T}&1\end{array}\right]}\) oraz \(\displaystyle{ U=\left[ \begin{array}{cc}H&u\\0&u_n\end{array}\right]}\). Z porównania bloków \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ LU}\) obliczamy: \(\displaystyle{ u=d,\ l=Hd,\ u_n=c-l^\mathrm{T}d}\) kosztem liniowym. Dostajemy przy okazji, że \(\displaystyle{ A}\) jest nieosobliwa, jeśli \(\displaystyle{ u_n\neq0}\), czyli \(\displaystyle{ c\neq d^\mathrm{T}Hd}\). Podobnie korzystając z postaci blokowej czynników \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ U}\), rozwiązujemy dwa układy równań z macierzami trójkątnymi również kosztem liniowym.
Pytanie: Skąd w bloku \(\displaystyle{ n\times n}\) postulowanej macierzy \(\displaystyle{ L}\) macierz identyczności? Podobnie nie wiem, dlaczego zakładamy, że górnym blokiem macierzy \(\displaystyle{ U}\) będzie \(\displaystyle{ H}\). Czy to jakaś sprytna zgadywanka?