witam mam tu kolejne zadanie z którym nie mogę sobie poradzić:
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ F:M_{n}[R]\rightarrow M_{n}[R], F(A)=A^{T}}\).
Wykazać ze F jest przekształceniem liniowym.
Wyznaczyć Ker(F) i Im(F).
Wyznaczyć wektory własne i wartości własne operatora F.
Udowodnić, że F jest operatorem diagonalizowalnym.
Obliczyć \(\displaystyle{ detF}\) i \(\displaystyle{ Tr(F)}\).
przekształcenie liniowe...
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Pomógł: 41 razy
przekształcenie liniowe...
Jesli sie nie myle odwzorowanie jest z macierzy nxn w macierze nxn
Liniowosc jest oczywista
Tylko macierz zerowa przechodzi na zerowa wiec obraz i jadro oczywiste.
Zadanie pomocnicze: kazda macierz da sie jednoznacznie przedstawic jako sume macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.
Stad wartosci wlasne to 1, oraz -1, a wektory własne to odpowiednio macierze symetryczne i antysymetryczne.
Poniewaz przestrzen macierzy kwadratowych jest suma prosta przestrzeni macierzy symetrycznych i antysymetrycznych (to bylo zadanie pomocnicze) wiec F jest diagonalizowalny (jakas tam baza przestrzeni macierzy kawdratowych zlozona z macierzy symetrycznych i antysymetrycznych istnieje)
Liniowosc jest oczywista
Tylko macierz zerowa przechodzi na zerowa wiec obraz i jadro oczywiste.
Zadanie pomocnicze: kazda macierz da sie jednoznacznie przedstawic jako sume macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.
Stad wartosci wlasne to 1, oraz -1, a wektory własne to odpowiednio macierze symetryczne i antysymetryczne.
Poniewaz przestrzen macierzy kwadratowych jest suma prosta przestrzeni macierzy symetrycznych i antysymetrycznych (to bylo zadanie pomocnicze) wiec F jest diagonalizowalny (jakas tam baza przestrzeni macierzy kawdratowych zlozona z macierzy symetrycznych i antysymetrycznych istnieje)
-
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Pomógł: 41 razy
przekształcenie liniowe...
No to zobaczmy jaka macierz po transponowaniu daje 0? Ano tylko zero. Ewentualnie mozna zobaczyc ze jest to odwzorowanie roznowartosciaowe, ba mozna nawet zobaczyc ze to bijekcja. Tak czy inaczej
\(\displaystyle{ dim Ker F=0}\)
wiec
\(\displaystyle{ dim Im F = n^{2}}\)
(Przypomnienie \(\displaystyle{ n^{2}}\) to wymiar przestrzeni macierzy kwadratowych nxn)
\(\displaystyle{ dim Ker F=0}\)
wiec
\(\displaystyle{ dim Im F = n^{2}}\)
(Przypomnienie \(\displaystyle{ n^{2}}\) to wymiar przestrzeni macierzy kwadratowych nxn)
-
- Użytkownik
- Posty: 394
- Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
- Pomógł: 99 razy
przekształcenie liniowe...
\(\displaystyle{ Ker(F) = \{A: F(A)=0\} = \{A: A^{T}=0\} = \{A: A=0\} = 0\\
Im(F) = \{A^{T}: \exists A\in M_{n}[R]\} = M_{n}[R]}\)
Im(F) = \{A^{T}: \exists A\in M_{n}[R]\} = M_{n}[R]}\)