przekształcenie liniowe...

[Marley]

witam mam tu kolejne zadanie z którym nie mogę sobie poradzić:
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ F:M_{n}[R]\rightarrow M_{n}[R], F(A)=A^{T}}\).
Wykazać ze F jest przekształceniem liniowym.
Wyznaczyć Ker(F) i Im(F).
Wyznaczyć wektory własne i wartości własne operatora F.
Udowodnić, że F jest operatorem diagonalizowalnym.
Obliczyć \(\displaystyle{ detF}\) i \(\displaystyle{ Tr(F)}\).

[micholak]

Jesli sie nie myle odwzorowanie jest z macierzy nxn w macierze nxn

Liniowosc jest oczywista

Tylko macierz zerowa przechodzi na zerowa wiec obraz i jadro oczywiste.

Zadanie pomocnicze: kazda macierz da sie jednoznacznie przedstawic jako sume macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.

Stad wartosci wlasne to 1, oraz -1, a wektory własne to odpowiednio macierze symetryczne i antysymetryczne.

Poniewaz przestrzen macierzy kwadratowych jest suma prosta przestrzeni macierzy symetrycznych i antysymetrycznych (to bylo zadanie pomocnicze) wiec F jest diagonalizowalny (jakas tam baza przestrzeni macierzy kawdratowych zlozona z macierzy symetrycznych i antysymetrycznych istnieje)

[Marley]

ok liniowość jest oczywista mógłbyś mi wytłumaczyć z czego policzyć jądro i obraz tego przekształcenia??

[micholak]

No to zobaczmy jaka macierz po transponowaniu daje 0? Ano tylko zero. Ewentualnie mozna zobaczyc ze jest to odwzorowanie roznowartosciaowe, ba mozna nawet zobaczyc ze to bijekcja. Tak czy inaczej
\(\displaystyle{ dim Ker F=0}\)
wiec
\(\displaystyle{ dim Im F = n^{2}}\)

(Przypomnienie \(\displaystyle{ n^{2}}\) to wymiar przestrzeni macierzy kwadratowych nxn)

[Lukasz_C747]

\(\displaystyle{ Ker(F) = \{A: F(A)=0\} = \{A: A^{T}=0\} = \{A: A=0\} = 0\\
Im(F) = \{A^{T}: \exists A\in M_{n}[R]\} = M_{n}[R]}\)