witam mam tu zadanie:
Dana jest macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&-3&3\\0&-4&3\\0&-6&5\end{array}\right]}\).
Udowodnić że ta macierz jest diagonalizowalna.Wyznaczyć macierz S taką , że \(\displaystyle{ S^{-1}AS}\) jest diagonalna.
Diagonalizacja bazy....
-
Kasiula@
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Podlasie
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 27 razy
Diagonalizacja bazy....
Rozumiem,że macierz A to jest ta podana.
*
Należy wyznaczyć wartości własne macierzy A, czyli \(\displaystyle{ det(A - \lambda 1)=0}\), czyli na przekątnej odejmujemy \(\displaystyle{ \lambda}\). Otrzymujemy wielomian 3-st. Pierwiastkami tego wielomianu są: \(\displaystyle{ \lambda_{1}=-1,\lambda_{2}=-1,\lambda_{3}=2}\)
Dla tych wartości własnych wyznaczamy wektory własne,czyli:
(i)
Dla \(\displaystyle{ \lambda_{3}=2}\) odpowiad wektor własny \(\displaystyle{ \vec{v_{3}}}\), którego współrzędne wyliczamy z równości:
\(\displaystyle{ (A-\lambda_{3}1)\cdot \vec{v_{3}}=\vec{0}}\)
(ii)
Ponieważ \(\displaystyle{ \lambda_{1}=\lambda_{2}=-1}\),czyli jest dwukrotna,zatem odpowiadają jej dwa wektory własne \(\displaystyle{ \vec{v_{1}},\vec{v_{2}}}\),których współrzędne wyliczamy z równań:
I. \(\displaystyle{ (A-\lambda_{1}1)\cdot \vec{v_{1}}=\vec{0}}\) - z tego mamy \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\)
II. \(\displaystyle{ (A-\lambda_{1}1)\cdot \vec{v_{2}} =\vec{v_{1}}}\) z tego mamy \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}}\)
*
*
Tworzymy macierz :
\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{ccc}\vec{v_{1}}&\vec{v_{2}}&\vec{v_{3}}\end{array}\right]}\),tzn w kolumnie \(\displaystyle{ \vec{v_{i}}}\) dla i=1,2,3 stoją wspólrzędne tego wektora.
Następnie tworzymy macierz diagonalną D,w której na diagonali stoja waertości własne macierzy A,czyli:
\(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)
*
*
Wówwczas:
\(\displaystyle{ D=M^{-1}\cdot A M}\)
*
*
Zatem udowodniliśmy,że macierz jest diagonalizowalna,bo pokazaliśmy,że istnieją trzy wektory własne dla trzech wartości własnych odpowiednio.
Macierz S jest to poprostu macierz M.
Wystarczy wszystko po przeliczać i powinno wyjść.
Pozdrawiam.
*
Należy wyznaczyć wartości własne macierzy A, czyli \(\displaystyle{ det(A - \lambda 1)=0}\), czyli na przekątnej odejmujemy \(\displaystyle{ \lambda}\). Otrzymujemy wielomian 3-st. Pierwiastkami tego wielomianu są: \(\displaystyle{ \lambda_{1}=-1,\lambda_{2}=-1,\lambda_{3}=2}\)
Dla tych wartości własnych wyznaczamy wektory własne,czyli:
(i)
Dla \(\displaystyle{ \lambda_{3}=2}\) odpowiad wektor własny \(\displaystyle{ \vec{v_{3}}}\), którego współrzędne wyliczamy z równości:
\(\displaystyle{ (A-\lambda_{3}1)\cdot \vec{v_{3}}=\vec{0}}\)
(ii)
Ponieważ \(\displaystyle{ \lambda_{1}=\lambda_{2}=-1}\),czyli jest dwukrotna,zatem odpowiadają jej dwa wektory własne \(\displaystyle{ \vec{v_{1}},\vec{v_{2}}}\),których współrzędne wyliczamy z równań:
I. \(\displaystyle{ (A-\lambda_{1}1)\cdot \vec{v_{1}}=\vec{0}}\) - z tego mamy \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\)
II. \(\displaystyle{ (A-\lambda_{1}1)\cdot \vec{v_{2}} =\vec{v_{1}}}\) z tego mamy \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}}\)
*
*
Tworzymy macierz :
\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{ccc}\vec{v_{1}}&\vec{v_{2}}&\vec{v_{3}}\end{array}\right]}\),tzn w kolumnie \(\displaystyle{ \vec{v_{i}}}\) dla i=1,2,3 stoją wspólrzędne tego wektora.
Następnie tworzymy macierz diagonalną D,w której na diagonali stoja waertości własne macierzy A,czyli:
\(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)
*
*
Wówwczas:
\(\displaystyle{ D=M^{-1}\cdot A M}\)
*
*
Zatem udowodniliśmy,że macierz jest diagonalizowalna,bo pokazaliśmy,że istnieją trzy wektory własne dla trzech wartości własnych odpowiednio.
Macierz S jest to poprostu macierz M.
Wystarczy wszystko po przeliczać i powinno wyjść.
Pozdrawiam.