Baza?

Chemist · Post autor: **Chemist** » 28 cze 2007, o 12:04

Czy następujące wektory tworzą bazę?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\0\\1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\1\\0\\1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\\1\end{array}\right]}\)

Marley · Post autor: **Marley** » 28 cze 2007, o 14:03

musisz zmienić te wektory w macierz i policzyć czy są liniowo niezależne.

ODP. te wektory tworzą bazę bo żaden z tych pojedynczych wektorów nie jest kombinacją dwóch pozostałych łatwo to zauważyć

Jak to udowodnić??
oto dowód:
Załóżmy że V jest naszą przestrzenią.
\(\displaystyle{ V=lin{(1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}}\)
tworzymy z tego macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\end{array}\right]}\)
Łatwo zauważyć że nie ma żadnych kombinacji między wektorami. Więc jest to baza.

PS. jeśli uważasz że w każdej z tych macierzy są bazy to to jest głupota bo zadanie traci zupełnie sens. Ale jeśli się mylę to napisz jak mam rozumieć to zadanie

Chemist · Post autor: **Chemist** » 28 cze 2007, o 15:57

Liniową niezależność łatwo jest udowodnić, problem (a przynajmniej moje pytanie) odnosi się raczej do drugiej części definicji bazy, a mianowicie czy badany układ wektorów jest generatorem przestrzeni.

Znalazłem, jeszcze taki warunek, że dimV=n,
gdzie n-liczba wektorów bazy, a V przestrzeń przez nie generowana, ale nie jestem tego pewien...

Marley · Post autor: **Marley** » 28 cze 2007, o 17:04

ależ skąd definicja bazy jest następująca:
dla przestrzeni V i zbioru B zachodzi następująca zależność:
1) V=lin(B) czyli przestrzeń V musi być liniową kombinacją zbioru B(gdzie B jest zbiorem wektorów)
2) zbiór B musi być liniowo niezależny

Chemist · Post autor: **Chemist** » 28 cze 2007, o 17:28

Zobacz przy definicji "inne określenia"

... 84_liniowa)

Marley · Post autor: **Marley** » 28 cze 2007, o 22:50

no ale zrozum mnie że kwestia definicji bazy przestrzeni głównie opiera się na tym że zbiór B musi być liniowo niezależny i ponadto V=lin(B) zbiór generatorów przestrzeni nie ma tu dużego wpływu.

PS. w definicji na wikipedii jest dokładnie napisane:
" *
2. dowolny wektor y z przestrzeni V można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej wektorów ze zbioru B.

Innymi słowy: baza przestrzeni liniowej jest liniowo niezależna"
Dokładnie napisane no nie?? proste

Czyli od początku miałem rację

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 28 cze 2007, o 22:58

Hehe, odpowiedzieć można i tak i nie. Odpowiednie pytanie to jaką przestrzeń rozważasz.
Przykładowo można napisać tak jak kolega:
\(\displaystyle{ V=lin{((1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1))}}\)
Choć wg mnie jest to mocna nadinterpretacja. Jednakże wtedy są bazą.
Natomiast jeśli byś zapisał:
\(\displaystyle{ V=R^4}\)
To oczywiscie bazy nie stanowią.