Skonstruuj Endomorfizm

[blade]

Skonstruuj endomorfizm \(\displaystyle{ f: \RR[x]_2 \rightarrow \RR[x]_2}\) tak,by \(\displaystyle{ ker f = lin\{1-x\}}\) oraz \(\displaystyle{ im f = lin\{1+x,1+x^2\}}\).
Dla skonstruowanego odwzorowania znajdź jego macierz \(\displaystyle{ A}\) w bazie kanonicznej przestrzeni \(\displaystyle{ \RR[x]_2}\). Wykorzystując \(\displaystyle{ A}\) oblicz \(\displaystyle{ f(x^2-3x)}\) oraz przeciwobraz \(\displaystyle{ f^{-1}(\{1+x^2\})}\).
Jak się za to zabrać ?
Wiem, że \(\displaystyle{ f(1-x) = 0}\) i \(\displaystyle{ w\in im f \Rightarrow \exists_{v\in \RR[x]_2} \Leftirightarrow f(v)=w}\)
Nie wiem jednak jak wykorzystać tę wiedzę..
Myślałem coś w stronę, że \(\displaystyle{ v=ax^2 +bx +c}\) więc \(\displaystyle{ f(v)=}\) no i właśnie, mam dwa wektory w powłoce liniowej, więc jak to zapisać ?

[Medea 2]

Wydaje mi się, że widziałam (i nawet rozwiązywałam) już podobne zadanie w niedalekiej przeszłości. Jeżeli masz ochotę, możesz przeszukać moje odpowiedzi w dziale "Algebra liniowa". Możesz skorzystać z tego, że dowolne przekształcenie liniowe jest wyznaczone przez wartości na wektorach bazowych. Podpowiem, że \(\displaystyle{ \{1, 1-x, x^2\}}\) jest bazą \(\displaystyle{ \RR[x]_2}\) (pytanie dodatkowe: kto wymyślił tę notację?).

[blade]

Podpowiem, że \(\displaystyle{ \{1, 1-x, x^2\}}\) jest bazą \(\displaystyle{ \RR[x]_2}\) (pytanie dodatkowe: kto wymyślił tę notację?).

Dlaczego akurat taka baza? Dlatego, że wygodnie nam jest taka wybrać, bo wartosc funkcji dla środkowego wektora znamy \(\displaystyle{ =0}\),wtedy \(\displaystyle{ f(1)=1+x}\),\(\displaystyle{ f(x^2)=1+x^2}\)? Czy może z innego powodu? Chciałbym zrozumieć, bo dlaczeoby nie na odwrót - w sensie wartość dla \(\displaystyle{ x^2}\) byłaby dla jedynki i na odwrót..
Co do notacji ( masz na myśli \(\displaystyle{ \RR[x]_2}\)?) to nie mam pojęcia, strzelalbym, że może Lagrange

[Medea 2]

Dokładnie z wymienionych przez Ciebie powodów. Każda baza jest dobra, ale ta jest lepsza od innych. Zdecydowałam się na nią, gdyż wiem, że obraz funkcji to powłoka liniowa obrazów wektorów bazowych. Jądro też bardzo łatwo określić. Może być tylko jeden problem, mianowicie czy jądro nie jest może większe? Wydaje się, że nic nie stoi na przeszkodzie, by \(\displaystyle{ f(v) = 0}\) dla wektora \(\displaystyle{ v}\) liniowo niezależnego z \(\displaystyle{ 1-x}\). Na szczęście dla nas taka przeszkoda istnieje Nazywa się twierdzenie o rzędzie.

[blade]

Jądro chyba nie może byc wielksze, bo \(\displaystyle{ dim ker f + dim im f= dim \RR[x]_2=3}\) Tak?
Zatem
\(\displaystyle{ f(1)=1+x}\)
\(\displaystyle{ f(1-x)=f(1)-f(x)=0\Rightarrow f(x) =f(1)}\) Mogę tak to zapisać?
\(\displaystyle{ f(x^2)=1+x^2}\)
Jeśli takby było, to mój endomorfizm wyglądałby tak :
\(\displaystyle{ f(ax^2+bx+c)=ax^2+(b+c)x+a+b+c}\)
Wygląda nawet jakby sie zgadzało
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&0\\0&0&1\end{matrix} \right]}\) Prawidłowo?
\(\displaystyle{ f(x^2-3x)}\) to byłoby cos takiego
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}0&-3&1\end{matrix}\right]\cdot A \cdot \left[\begin{matrix}0\\-3\\1\end{matrix}\right]}\)?To już się chyba nie zgadza.

[Medea 2]

Poprawnie zastosowałeś twierdzenie o rzędzie. \(\displaystyle{ f(1-x) = 0}\) pociąga \(\displaystyle{ f(x) = 1+x}\) dzięki liniowości funkcji \(\displaystyle{ f}\) (w końcu to endomorfizm jest). Jeżeli wielomian \(\displaystyle{ ax^2 +bx +c}\) utożsamisz z wektorem \(\displaystyle{ [c, b, a]^t}\), to macierz endomorfizmu też jest wyznaczona w porządku, bo przenosi ona \(\displaystyle{ [c,b,a]^t}\) na \(\displaystyle{ [a+b+c, b+c,a]^t}\). Dopiero na końcu wkradła się usterka: niepotrzebnie domnażasz przez wektor z lewej strony.

[blade]

Trochę mnie zmylilo twierdzenie o rzędzie, my to nazywamy twierdzeniem o wymiarze jadra i obrazu .
Co do zadania, w takim razie, będzie tak
\(\displaystyle{ f(x^2-3x)=A \cdot \left[\begin{matrix}0\\-3\\1\end{matrix}\right]}\)
Ale nie wiem co będzie z przeciwobrazem? Jest jakis wzor na to?
PS: kto wymyślił tę notacje, o której wspominalas?