Niech \(\displaystyle{ A=\left[\begin{matrix}2&-1&2&-1\\0&1&2&-1\\0&02&0\\0&1&-2&3\end{matrix}\right]}\) będzie macierzą endomorfizmu \(\displaystyle{ f : \RR[x]_3 \Rightarrow \RR[x]_3}\) w bazie kanonicznej \(\displaystyle{ (1,x,x^2,x^3)}\). Podaj bazę, w której macierz \(\displaystyle{ J}\) odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) ma postać Jordana. Wypisz tę macierz oraz nieosobliwą macierz \(\displaystyle{ P}\) taką, że \(\displaystyle{ J=P^{-1}AP}\). Czy \(\displaystyle{ f}\) jest automorfizmem ?
Rozwiązanie :
\(\displaystyle{ det(A-I\lambda) = \left|\begin{matrix}2-\lambda&-1&2&-1\\0&1-\lambda&2&-1\\0&0&2-\lambda&0\\0&1&-2&3-\lambda\end{matrix}\right| = (2-\lambda)^4\\
\lambda_1 = 2 ; k_1=4\\
\left[\begin{matrix}0&-1&2&-1\\0&-1&2&-1\\0&0&0&0\\0&1&-2&1\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{matrix}\right] = 0 \\
-x_2+2x_3 - x_4 = 0 \rightarrow x_2 = 2x_3 - x_4\\
\begin{cases} x_1=\alfa \in \RR \\ x_2= 2\beta - \gamma\\ x_3 = \beta \in \RR \\x_4 = \gamma \in \RR \end{cases}\\
V_{\lambda_1} = \{(\alpha,2\beta -\gamma, \beta,\gamma)\} = lin\{(1,0,0,0),(0,2,1,0),(0,-1,0,1)\}\\
dim V_{\lambda_1} = 3}\)
Będą zatem trzy klatki w macierzy \(\displaystyle{ J}\).
Szukam wektorów dołączonych (a raczej jednego, bo tylko jeden będzie).
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}0&-1&2&-1\\0&-1&2&-1\\0&0&0&0\\0&1&-2&1\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\alpha\\2\beta - \gamma \\ \beta \\ \gamma\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}-v_2 +2v_3 - v_4 = \alpha \\ -v_2 +2v_3 -v_4 = 2\beta - \gamma \\ v_2 - 2v_3 +v_4 =\gamma\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}v_2 - 2v_3 + v_4 = -\alpha \\ v_2 - 2v_3+v_4 = \gamma - 2\beta \\ v_2 - 2v_3 +v_4= \gamma\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \gamma = \gamma - 2\beta \Rightarrow \beta = 0}\)
Teraz, nie wiem czy robię to dobrze (bo ignoruję fakt, że \(\displaystyle{ \beta =0}\) i ogólnie przyjmuje całkiem nowe zmienne)
\(\displaystyle{ \begin{cases}v_1 = \delta \in \RR \\ v_2 = \gamma + 2 \Delta - \Gamma \\ v_3 = \Delta \in \RR \\ v_4 = \Gamma \in \RR\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ V^{(2)} = \{(\delta,\gamma + 2\Delta - \Gamma, \Delta, \Gamma)\} = lin\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,2,1,0),(0,-1,0,1)\}}\)
Bazą byłoby \(\displaystyle{ B=\left( (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,2,1,0),(0,-1,0,1)\right)}\), ale mamy wielomian stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\), więc bazą będzie \(\displaystyle{ B=(1,x,x^2+2x,x^3-x)}\) [? Nie jestem tego pewien..]
\(\displaystyle{ J=\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{matrix}\right]}\)
(Tutaj mogę sobie wpisać jedynkę gdziekolwiek nad diagonalą, byle były 3 klatki ? Bo szczerze to zupełnie randomowo tą jedynkę tam umieściłem, byle były 3 klatki).
Jak wyznaczyć tę macierz \(\displaystyle{ P}\) ? Da się to jakoś odczytać z bazy i po prostu przepisać, jako kolumny ?
Z góry dziękuję za odpowiedź.