Mam problem z rozwiązaniem takiego zadania jeśli ktoś mógłby mi pomóc będę bardzo wdzięczny.
Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy operatora obrotu osi współrzędnych o kąt φ
A = cosφ sinφ
-sinφ cosφ
Znaleźc macierz D diagonalizującą A tzn. DAD-1 = macierz diagonalna.
Z góry dziękuję za pomoc . pozdrawiam[/center]
wartośći i wektory własne macierzy operatora....
-
Kasiula@
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Podlasie
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 27 razy
wartośći i wektory własne macierzy operatora....
Pdobna treść jest w poście o temacie:Diagonalizacja bazy....
U Ciebie jest ta sama sytuacja,tyle,że masz macierz 2 na 2 i pojawiają się wartości zespolono,mianowicie:
1. Wyznaczamy wartości własne:
\(\displaystyle{ det\left[\begin{array}{cc}\cos\varphi - \lambda&\sin \varphi\\-\sin \varphi&\cos \varphi - \lambda \end{array}\right]=0}\)
stąd mamy dwie wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{1}=\cos \varphi + i\sin \varphi}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_{2}=\cos \varphi - i\sin \varphi}\)
2. Dla każdej wartości własnej wyznaczmy wektor własny. Zrobie to dla jednej (dla drugiej robi sie analogicznie)
Weźmy \(\displaystyle{ \lambda_{1}=\cos \varphi + i\sin \varphi}\) dla niej szukamy wektor własny \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\). Jego współrzędne wyliczamy z równania:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos\varphi - \lambda_{1}&\sin \varphi\\-\sin \varphi&\cos \varphi - \lambda_{1} \end{array}\right] ft[\begin{array}{cc}a\\b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right]}\)
gdzie a,b są współrzędnymi wektora \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\)
Przy drugiej wartości własnej,niech jej wektor ma współrzędne c,d.
Czyli te a,b,c,d są do policzenia.
*
*
Wprowadzamy macierze:
(i) macierz, w której kolumny są wektorami własnymi:
\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{cc}a&c\\ b&d \end{array}\right]}\)
(ii)macierz diagonalna, wktórej na diagonali stoją wartości własne,czyli:
\(\displaystyle{ C=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}&0\\ 0&\lambda_{2} \end{array}\right]}\)
*
*
Wówczas:
\(\displaystyle{ C=M\cdot A M^{-1}}\)
Wracając do Twoich oznaczeń mamy,że: D=M, macierz diagonalna=C
U Ciebie jest ta sama sytuacja,tyle,że masz macierz 2 na 2 i pojawiają się wartości zespolono,mianowicie:
1. Wyznaczamy wartości własne:
\(\displaystyle{ det\left[\begin{array}{cc}\cos\varphi - \lambda&\sin \varphi\\-\sin \varphi&\cos \varphi - \lambda \end{array}\right]=0}\)
stąd mamy dwie wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{1}=\cos \varphi + i\sin \varphi}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_{2}=\cos \varphi - i\sin \varphi}\)
2. Dla każdej wartości własnej wyznaczmy wektor własny. Zrobie to dla jednej (dla drugiej robi sie analogicznie)
Weźmy \(\displaystyle{ \lambda_{1}=\cos \varphi + i\sin \varphi}\) dla niej szukamy wektor własny \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\). Jego współrzędne wyliczamy z równania:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos\varphi - \lambda_{1}&\sin \varphi\\-\sin \varphi&\cos \varphi - \lambda_{1} \end{array}\right] ft[\begin{array}{cc}a\\b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0\\0\end{array}\right]}\)
gdzie a,b są współrzędnymi wektora \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}}\)
Przy drugiej wartości własnej,niech jej wektor ma współrzędne c,d.
Czyli te a,b,c,d są do policzenia.
*
*
Wprowadzamy macierze:
(i) macierz, w której kolumny są wektorami własnymi:
\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{cc}a&c\\ b&d \end{array}\right]}\)
(ii)macierz diagonalna, wktórej na diagonali stoją wartości własne,czyli:
\(\displaystyle{ C=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}&0\\ 0&\lambda_{2} \end{array}\right]}\)
*
*
Wówczas:
\(\displaystyle{ C=M\cdot A M^{-1}}\)
Wracając do Twoich oznaczeń mamy,że: D=M, macierz diagonalna=C