Postać Jordana

[Auster]

Witam!
Od 2 godzin staram zrozumieć jak znaleźć postać kanoniczną macierzy i nie potrafię do tego dojść czytając posty na tym forum, zaglądając do podręczników, więc napiszę bezpośrednio tutaj. Będę wdzięczny, jeśli ktoś przeanalizuje ze mną ten przykład.



\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

Krok 1. Znajdowanie wielomianu charakterystycznego. W tym wypadku jest to (\(\displaystyle{ \lambda- 1)^4}\). Mamy więc jedną wartość własną - \(\displaystyle{ 1}\) o krotności\(\displaystyle{ 4}\).

Krok 2. Znajduję macierz \(\displaystyle{ B_{\lambda}=A-I \cdot \lambda}\)
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cccc}0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ rank(B)=2}\)

Krok 3. Przechodzę do diagramu kropkowego
ilość kropek w n-tych wierszach = \(\displaystyle{ rank(A)-rank(B^n)}\)


Po analizie 2 kropki w pierwszym wierszu, jedna w drugim i 1 w trzecim

Stąd \(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

Ale nie jest to dobra odpowiedź. Gdzie robię błąd?

[bartek118]

\(\displaystyle{ \dim \ker (A-I) = 2}\)
więc będą dwie klatki Jordana. Albo jedna wymiaru \(\displaystyle{ 3}\) i jedna wymiaru \(\displaystyle{ 1}\), albo obie wymiaru \(\displaystyle{ 2}\). Aby przekonać się, która z możliwości, musisz policzyć
\(\displaystyle{ \dim \ker (A-I)^2}\)

[Auster]

Dziękuje za odpowiedź. \(\displaystyle{ dim ker (A-I)^2}\)wynosi 3. Czyli jaka jest tego interpretacja?

[bartek118]

Czyli \(\displaystyle{ 3-2=1}\), zatem jest jedna klatka wymiaru przynajmniej \(\displaystyle{ 2}\). Co to oznacza - że musi być jedna wymiaru \(\displaystyle{ 1}\) i jedna wymiaru \(\displaystyle{ 3}\)

[Auster]

Ok. Dziękuję za wyjaśnienie. nie chcę zakladac nowego tematu do tego samego przykładu. W jaki sposób znaleźć macierz przejścia?

[bartek118]

W tym temacie opisywałem dokładnie co i jak:
364813.htm#p5236224