Def. iloczynu skalarnego - rozbieżność w literaturze

[PLrc]

Skoczylas podaje pięć warunków, które musi spełniać iloczyn skalarny: że to jest funkcjonał dwuliniowy (addytywny i jednorodny), symetryczny, dodatnio określony i że:
\(\displaystyle{ (\vec{u},\ \vec{u})=0 \Leftrightarrow \vec{u}=\vec{0}}\)
Takie same warunki podaje Wikipedia:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_skalarny

Ten ostatni warunek wikipedia nazywa niezdegenerowaniem (nieosobliwością). Inna źródła, w tym wikipedia w haśle: ... no.C5.9Bci podają inny warunek, który nazywają niezdegenerowaniem (nieosobliwością), mianowicie, że dla każdego niezerowego wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) istnieje wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\) taki, że \(\displaystyle{ (\vec{u},\ \vec{v} )\neq 0}\). Czyli, że nie ma poza wektorem zerowym wektorów ortogonalnych do wszystkich innych. Problem w tym, że te warunki nie są równoważne: ten pierwszy jest dużo silniejszy. Tego pierwszego warunku nie spełnia iloczyn skalarny w Szczególnej teorii względności, w której iloczyn skalarny, jak pewnie wiecie, jest zadany macierzą (w bazie standardowej) \(\displaystyle{ \eta_{\alpha \beta}=\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)}\)
Ten iloczyn skalarny, nie spełnia pierwszego warunku, bo np. iloczyn skalarny wektora \(\displaystyle{ \vec{u}=(1,1,0,0)}\) z nim samym wynosi zero. Ale drugi warunek jest spełniony: dla każdego niezerowego wektora \(\displaystyle{ (x_0,x_1,x_2,x_3) \neq (0,0,0,0)}\) istnieje taki wektor, że ich iloczyn skalarny jest różny od zera.

Skąd jest ta rozbieżność w literaturze? Który warunek bardziej zasługuje na to, żeby go nazywać niezdegenerowaniem (nieosobliwością)?

[AiDi]

Nie ma rozbieżności, po prostu metryka w STW nie jest iloczynem skalarnym. Tak niektórzy mówią, bo służy do mierzenia "długości", ale nie zwykłych długości. Forma kwadratowa pochodząca od iloczynu skalarnego musi mieć dodatnią sygnaturę, metryka STW ma sygnaturę \(\displaystyle{ (1,3)}\), lub \(\displaystyle{ (3,1)}\) jak kto woli.

Problem w tym, że te warunki nie są równoważne: ten pierwszy jest dużo silniejszy.

Dlaczego?

[PLrc]

Tak, wiem, że iloczyn skalarny w STW nie jest porządnym iloczynem skalarnym.

No z warunku \(\displaystyle{ (\vec{u},\ \vec{u})=0 \Leftrightarrow \vec{u}=\vec{0}}\) można wyprowadzić warunek, że dla każdego niezerowego wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) istnieje wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\) taki, że \(\displaystyle{ (\vec{u},\ \vec{v} )\neq 0}\) ale odwrotnie się chyba nie da, czy się mylę?