Skonstruuj endomorfizm

[xaxa]

Skonstruuj endomorfizm \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}[x]_{2}\rightarrow \mathbb{R}[x]_{2}}\) tak, aby \(\displaystyle{ ker f = lin \left \{ 1-x \right \} , im f= lin\left \{ 1+x,1+x^{2} \right \}}\)


wiem, że \(\displaystyle{ im f = lin \left ( f\left ( B \right ) \right )}\)
gdzie \(\displaystyle{ B=\left ( v_{1},v_{2},v_{3}} \right )}\) - baza przestrzeni

i mam
\(\displaystyle{ f\left ( v_{1}} \right ) = 1+x}\)
\(\displaystyle{ f\left ( v_{2}} \right ) = 1+x^{2}}\)
\(\displaystyle{ f\left ( 1-x \right ) = 0}\)


utknęłam, nie wiem co dalej, proszę o pomoc

-- 17 sie 2015, o 11:06 --

jeśli wezmę bazę kanoniczną to mam:
\(\displaystyle{ f(1)= 1+x\; f(x)=1+x^{2}\; f(1-x)=0}\)

próbowałam coś takiego
\(\displaystyle{ f(ax^{2}+bx+c)= af(x^{2})+bf(x)+cf(1)=af(x^{2})+b(1+x^{2})+c(1+x)}\)

ale nie wiem jak wykorzystać jądro

[Medea 2]

Zauważ, że zbiór \(\displaystyle{ \{1, 1-x, x^2\}}\) również jest bazą. Możesz zatem przyjąć za definicję swojego endomorfizmu jedyną liniową funkcję, która spełnia \(\displaystyle{ f(1) = 1 + x}\), \(\displaystyle{ f(1-x) = 1-x}\) oraz \(\displaystyle{ f(x^2) = 1+ x^2}\).

[xaxa]

skąd wiemy, że \(\displaystyle{ f(1-x)= 1-x}\) ? nie jest raczej \(\displaystyle{ f(1-x)= 0}\) ?

[Medea 2]

Tak, racja: \(\displaystyle{ f(1-x) = 0}\). Zakładam, że szukasz zwykłego homomorfizmu grup, a nie pierścieni.