prosta w r3, przechodząca przez 2 punkty i prostopadła

[cinek93]

Witam,
Mam taki problem do rozwiązania, potrzebuję otrzymać punkty tworzące trójkąt widoczny na obrazku:

Chcę to zrobić w taki sposób (wszystko w przestrzeni R3):
1) tworzę prostą k1 przechodzącą przez punkty P1 i P2,
2) prostą k2 prostopadłą do prostej k1 i przechodzącą przez punkt P2,
3) prostą k3 prostopadłą do prostej k2 i przechodzącą przez punkt P3,
4) znajduję punkt przecięcia prostych k2 i k3.

Nie chodzi mi o to by ktoś to wszystko za mnie rozwiązał, potrzebuję jedynie wskazówek. Wiem jak znaleźć równanie parametryczne prostej przechodzącej przez 2 punkty, ale potem mam to zamieniać na równanie ogólne, jeśli tak to w jaki sposób? Szukałem przykładów jak to się rozwiązuje, ale nie mogłem znaleźć takich które by mi podpowiedziały, a niestety algebrę miałem kilka lat temu na studiach i wszystko wyleciało mi z głowy, nawet nie myślałem, że będę musiał do tego wracać, pomożecie?

Edit: potrzebuję tylko punktu przecięcia k2 i k3, reszta punktów jest już podana

[SlotaWoj]

1. W \(\displaystyle{ \RR^3}\) nie ma czegoś takiego jak ogólna postać równania prostej. Postać parametryczna jest wystarczająca.
2. W \(\displaystyle{ \RR^3}\) istnieje nieskończenie wiele prostych prostopadłych do danej prostej w punkcie. Proste \(\displaystyle{ k_2}\) i \(\displaystyle{ k_3}\) muszą leżeć w jednej płaszczyźnie.
3. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty:
   
   • \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{array}\right|=0}\)

[cinek93]

2.: Dokładnie sprecyzowałem, że ta prosta dodatkowo ma przejść przez dany punkt, więc jest tylko jedna możliwa prosta, która spełnia ten warunek i raczej to będzie ta sama płaszczyzna (pierwsza płaszczyzna zawierająca k1 i k2, druga płaszczyzna z k2 i k3).

Chyba znalazłem tutaj rozwiązanie : 58291.htm

[SlotaWoj]

58291.htm jest rozwiązaniem innego zadania, ale można je wykorzystać. Pomyśl jak.

2) prostą k2 prostopadłą do prostej k1 i przechodzącą przez punkt P2,

takich prostych jest nieskończenie wiele, ale prostopadła do \(\displaystyle{ k_1}\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ P_3}\) tylko jedna (o ile punkty \(\displaystyle{ P_1}\), \(\displaystyle{ P_2}\) i \(\displaystyle{ P_3}\) nie są współliniowe).

[cinek93]

Dziękuję za podpowiedź, faktycznie tego nie zauważyłem. Udało mi się to rozwiązać, chociaż jeszcze nie przetestowałem tego algorytmu. Zamiast prostej k1, znalazłem płaszczyznę przechodzącą przez punkty P1 i P2 i jeszcze jeden punkt niewidoczny na obrazku. Potem podstawiłem znaleziony przy okazji wektor normalny płaszczyzny i punkt P2 do równania parametrycznego prostej k2, bez żadnego liczenia. Na końcu wyznaczyłem punkt przecięcia prostych k1 i k2, tak jak w tym przykładzie: 58291.htm (o ile punkt A też jest punktem przecięcia dwóch prostych)

[SlotaWoj]

Strasznie mało czytelnie wyrażasz swoje myśli.
W zadaniu 58291.htm jest wyznaczane równanie prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ k_1}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P_3}\). Trzeba taka prostą przesunąć do punktu \(\displaystyle{ P_2}\) (zmodyfikować jej równanie) i mamy prostą \(\displaystyle{ k_2}\) oraz poprowadzić prostą równoległą do \(\displaystyle{ k_1}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ P_3}\) (również modyfikując równanie prostej) i mamy prostą \(\displaystyle{ k_3}\). Punkt wspólny (przecięcie) tych dwóch prostych jest poszukiwanym punktem.
Zwróć uwagę, że w powyższym nie odwołuję się do niczego, co nie jest widoczne na rysunku.

P.S.

... znaleziony przy okazji wektor normalny płaszczyzny ...

Jak się ma równanie płaszczyzny (w postaci ogólnej, a tę zawsze można uzyskać przekształcając inne jego postacie), to wektor do niej normalny ma się automatycznie.

[cinek93]

Rozwiązałem, wklepałem do Matlaba, działa zrobiłem tak jak opisałem to wcześniej, niestety nie potrafię mówić językiem matematyki, chciałem tylko tak ogólnie opisać, a śmieszne jest to że program zajmuje tylko 6 linijek Jeszcze raz dzięki za pomoc.