Eksponens macierzy a jej n-ta potęga

[Kubala95]

Cześć, mam taką średnio przyjemną macierz:

\(\displaystyle{ M = \left[ \begin{array} {cc} 8 & -1 \\ 4 & 4 \end{array} \right]}\)

Zadanie polega na tym żeby policzyć jej eksponens, jeśli jednak dobrze rozumiem ten problem, to najpierw trzeba odnaleźć jej n-tą potęgę. Przeliczyłem sobie drugą i trzecią potęgę:

\(\displaystyle{ M^2 = \left[ \begin{array} {cc} 60 & -12 \\ 48 & 0 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ M^3 = \left[ \begin{array} {cc} 432 & -108 \\ 384 & -48 \end{array} \right]}\)

Może jestem ślepy, ale nie dostrzegam żadnej reguły. Jeśli dobrze policzyłem wielomian, to ta macierz nie jest diagonalizowalna (tylko jeden wektor własny).

Czy zrobiłem coś źle, a może istnieje jakiś inny sposób na policzenie eksponensa ? Będę wdzięczny za pomoc.

[Medea 2]

Macierze szybko się potęguje, kiedy znasz rozkład Jordana. Nie tak szybko jak dla diagonalnych, ale nadal szybko.

[Kubala95]

Dziękuję, faktycznie, nie pomyślałem o Jordanie. Spróbuję coś wykombinować tą drogą.