Rząd macierzy liczony minorami - pytanie.

[NorthPersonage666]

Mam przykładową macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{bmatrix}}\)

Jej rząd chcę obliczyć znajdując minor niezerowy najwyższego stopnia. Minory stopnia 1,2,3 wyszły różne od 0 i teraz badam minory 4 stopnia. Zbadałam dwa minory 4 stopnia:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1& 2& 3& 4\\
1& 2& 3& 4\\
1& 2& 3& 4\\
1& 2& 3& 4\end{bmatrix}}\)

oraz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2& 3& 4&5\\
2& 3& 4&5\\
2& 3& 4&5\\
2& 3& 4&5\end{bmatrix}}\)

Wynik z obydwóch otrzymałam 0. Czy już mogę stwierdzić, że rząd macierzy wynosi 3 czy muszę zbadać jeszcze inne minory 4 stopnia? Jeżeli tak to jakie?

[yorgin]

Wszystkie.

Rząd macierzy to wymiar największego minora o niezerowym wyznaczniku. Znalezienie dwóch zerowych niczego nie dowodzi, gdy minorów rzędu cztery jest \(\displaystyle{ 25}\). Być może któryś z pozostałych \(\displaystyle{ 23}\) jest niezerowy...

[NorthPersonage666]

Czyli pozostają operacje elementarne. Siłuję się z nimi i z tą macierzą i nic nie mogę wskórać.
Mógłby ktoś pomóc?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & -4 & 0 & 3\\
1 & -1 & -2 & -2 & -2\\
1 & -3 & 0 & -4 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 1\end{bmatrix}}\)

[yorgin]

Znasz eliminację Gaussa? Możesz spróbować wyzerować część wyrazów tak, by łatwiej było prowadzić analizę. Lub od razu odczytać wynik.

[NorthPersonage666]

A jak od razu odczytać wynik?

[Igor V]

Kombinacja liniowa nie zmienia wartości rzędu.Zauważ że jak pomnożysz pierwszą kolumnę przez 2 i odejmiesz od drugiej kolumny ,potem pomnożysz pierwszą kolumnę przez 3 i odejmiesz od trzeciej kolumny itd aż do 5 to otrzymasz macierz złożoną z samych zer i w pierwszej kolumnie same jedynki.Kolumny z 0 nic nie wnoszą więc można je wykreślić i w efekcie otrzymujemy że macierz ma rząd równy 1.

[NorthPersonage666]

Kombinacja liniowa nie zmienia wartości rzędu.Zauważ że jak pomnożysz pierwszą kolumnę przez 2 i odejmiesz od drugiej kolumny ,potem pomnożysz pierwszą kolumnę przez 3 i odejmiesz od trzeciej kolumny itd aż do 5 to otrzymasz macierz złożoną z samych zer i w pierwszej kolumnie same jedynki.Kolumny z 0 nic nie wnoszą więc można je wykreślić i w efekcie otrzymujemy że macierz ma rząd równy 1.

Oki zgadzam się z Tobą. Tylko, że macierz w pierwszym poście była podana przykładowo. Problem mam rozwiązać macierz podaną poniżej.

[Nakahed90]

yorgin już wspomniał o metodzie jakiej możesz użyć. Jej opis znajdziesz np.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_eliminacji_Gaussa

.

[NorthPersonage666]

yorgin już wspomniał o metodzie jakiej możesz użyć. Jej opis znajdziesz np.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_eliminacji_Gaussa

.

Znam tę metodę i ją stosuję, ale zamiast rzędu 3 wychodzi mi 4. Tak za każdym razem gdy liczę ten przykład ...

[Nakahed90]

To pokaż jak liczysz, wtedy to sprawdzimy i wskażemy ew. błąd.

[NorthPersonage666]

Różnie liczyłam, np tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & -4 & 0 & 3\\
1 & -1 & -2 & -2 & -2\\
1 & -3 & 0 & -4 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 1\end{bmatrix}}\) W3-W2 i W2-W1

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & -4 & 0 & 3\\
0 & -2 & 2 & -2 & -5\\
0 & -2 & 2 & -2 & 2\\
0 & 1 & -1 & 1 & 1\end{bmatrix}}\) K2+K3 i K3+K4 i K4-K5

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & -3 & -4 & -3 & 3\\
0 & 0 & 0 & 3 & -5\\
0 & 0 & 0 & -4 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}}\)

[Nakahed90]

Sprawdź komórkę (1,4) oraz (2,4) po pierwszym przejściu.

@edit: Nadal jest źle. Poprawione wartości w/w komórkach rzutują na postać trzeciej macierzy, więc operacje z drugiego przejścia musisz jeszcze raz wykonać.

@edit2: Pierwszą kolumną wyzeruj drugą i trzecią i będziesz miała wtedy już koniec zadania. Ogólnie jeżeli zajmujesz się liczeniem tylko rzędu macierzy, to w przypadku gdy masz proporcjonalne jakieś n kolumn (lub n wierszy) to możesz n-1 z nich wykreślić i zajmować się tylko okrojoną macierzą.

[NorthPersonage666]

Oki dzięki wielkie.

Czyli mam takie coś:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -3 & 3\\
0 & 0 & 0 & 3 & -5\\
0 & 0 & 0 & -4 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}}\)

I teraz skreślam kolumnę 2 i 3 i powstaje coś takiego?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & -3 & 3\\
0 & 3 & -5\\
0 & -4 & 2\\
0 & 0 & 1\end{bmatrix}}\) I znów operacje elementarne? Czy już teraz rząd równa się 3 bo taka ilość skoków?

[Nakahed90]

Zauważ, że z W1,W2,W4 możesz otrzymać minor o niezerowym wyznaczniku (aby dochować pełni formalności), zatem rząd jest równy 3 (gdyż usunięcie kolumn zerowych nie zmienia rzędu macierzy).